《自然极值》系列——6.最速降线的解答

通过上一小节的小故事，我们已经能够基本了解最速降线的内容了，它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数，由于函数是未知的，因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到，伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案，那么我们现在就再次回顾历史，追寻伯努利的答案，并且寻找进一步的应用。

为了计算方便，我们把最速降线倒过来，把初始点设置在原点。在下落过程中，重力势能转化为动能，因此，在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$，由于纯粹为了探讨曲线形状，所以我们使g=0.5，即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$，所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$，于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。

按照伯努利的思路，我们将最速降线视为一条光路，把其水平等距分割成无限小份，那么每一份都应该满足光的折射定律，如图所示，我们将有
$$\frac{v}{\cos\theta}=\frac{v'}{\cos\theta'}=...=Const$$

Const表示常数。由于
$$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}$$

所以得出
$$v^2(1+\dot{y}^2)=Const\tag{1}$$
请注意，我们还没有用到$v=\sqrt{y}$这一条件，也就是说(1)式并非局限于本题目。那么，哪种类型的题目可以应用(1)式呢？答案是“当速度v的表达式中仅仅显含y”的题目，换句话说，当v的表达式中仅仅显含y时，满足
$$t=\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{v}$$
取最小值的函数由(1)式算出。

为什么会这样呢？这需要回想我们的光学知识了。应用光学的折射定律首先得作出“法线”，而“法线”是怎么作出的呢？哦，它垂直于两种不同介质间的接触面的切面。光在两种不同介质间的不同表现就是传播速度的不同，因此，用数学的语言讲，“两种不同介质间的接触面”就是等速面。

若$v=v(x,y)$，显然，每一个速度的等速面（放到二维，退化成等速线）方程都可以表示成$v_c=v(x,y)$，$v_c$是代表速度的常数。既然如此，将其两边微分，就可以得到（这...已经有点深入了，下式涉及到偏导数，还没有了解的朋友可以跳过）
$$0=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\dot{y}=0\tag{2}$$
这样就可以求出在点(x,y)出的速度切面（线）的斜率。对于v仅仅显含y的情况，$\dot{y}$是恒等于0的，因此每条法线都垂直于x轴。于是我们才能够按照伯努利的思路，“把其水平等距分割成无限小份”，要不然，这一步已经不成立了。对于v不单纯显含y的情况，还是可以利用(2)式求出斜率，再进行转角的，麻烦但奏效；不过如果v还含有诸如$\dot{y}$的导数项，那么此思路就失效了。

回到最速降线问题，将$v=\sqrt{y}$代入(1)，就可以得到
$$y(1+\dot{y}^2)=C_1$$
$\dot{y}=\sqrt{\frac{C_1}{y}-1}$，即$x=\int \sqrt{\frac{y}{C_1-y}}dy$

令$y=C_1(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 2t)=C_1 sin^2 t$，代入得$x=\int 2C_1 sin^2 t dt=C_1(t-\frac{1}{2} sin 2t +C_2)$；根据初始条件，该曲线过(0,0)，得到$C_2=0$；另一个常数可以根据另外一点得出。于是最速降线为

$$\begin{aligned}x=C_1(t-\frac{1}{2} \sin 2t) \\ y=C_1(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2t)\end{aligned}$$

可见，这是一条摆线，或曰旋轮线、等时曲线。

【摆线的定义】

摆线是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．

参数方程为
$$x=r(t- \sin t),y=r(1- \cos t)$$

到17世纪，人们发现摆线具有如下性质：
1．它的长度等于旋转圆直径的4倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．
2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍．
3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的．
4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。

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