9 Jun

路径积分系列:4.随机微分方程

本章将路径积分用于随机微分方程,并且得到了与不对称随机游走一样的结果,从而证明了它与该模型的等价性.

将路径积分用于随机微分方程的研究,这一思路由来已久. 费曼在他的著作[5]中,已经建立了路径积分与线性随机微分方程的关系. 而对于非线性的情况,也有不少研究,但比较混乱,如文献[8]甚至给出了错误的结果.

本文从路径积分的离散化概念出发,明确地建立了两个路径积分微元的雅可比行列式关系,从而对非线性随机微分方程也建立了路径积分. 本文的结果跟文献[9]的结果是一致的.

概念

本文所研究的仅仅是随机常微分方程,它与一般的常微分方程的区别在于布朗运动项的引入,如常见的一类随机微分方程为
$$dx(t)=p(x(t),t)dt + \sqrt{\alpha} dW_t.\tag{48}$$
其中$W_t$代表着一个标准的布朗运动. 由于引入了随机项,所以解$x(t)$不再是确定的,而是有一定的概率分布.

在对随机微分方程中,感兴趣的量有很多,比如关于$x$的某个量的期望、方差,或者稳定性,等等. 随机微分方程领域中有各种分析的技巧,但是显然,直接求出$x(t)$的概率分布后对概率分布进行研究,是最理想最容易的方案. 路径积分正是给出了求概率分布的一个方法.

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4 Jun

当概率遇上复变:随机游走与路径积分

我们在上一篇文章中已经看到,随机游走的概率分布是正态的,而在概率论中可以了解到正态分布(几乎)是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广,我们或许可以思考一个问题,究竟是随机游走造就了正态分布,还是正态分布造就了随机游走?换句话说,哪个更本质些?个人就自己目前所阅读到的内容来看,随机游走更本质些,随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性(比如每次测量的误差),它的分布正好就是正态分布,所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式,原则上来说,它更广泛,更深刻,其大名曰“路径积分”。

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