为了计算实际问题,我们总会采用各种各样的理想模型。一般而言,一个模型越接近实际现象,它往往会越复杂。而忽略掉多数微小的干扰,只保留一些主要的项,这通常可以得到一个相当简单、能够精确解出的模型。以这样的一个可以精确解出的近似模型为基础,逐渐地把微小项的影响添加进去,使得我们的答案越来越准确,这就是摄动法的思想,也称作“微扰理论”。这种方法源于求解天体力学的N体问题,而现在已经发展成为一门相当系统的学科,并应用到了相对多的领域,如量子力学、电子理论等。

其实不难发现,实际问题中存在不少这样的例子,即当我们要计算某个现象时,先考虑最突出的,然后再考虑细节。比如说,要计算地球的轨道,先把它看成一个与太阳组成的纯粹的二体系统,然后把各种微小效应加进去,比如月球的影响、各大行星的影响甚至由于地球的不规则形状所产生的影响等。当然,不仅仅是这一类复杂的“大问题”,我们平常可能会遇到的一些“小问题”有可能也让摄动法派上用场。本文试图将摄动法介绍给各位读者。

摄动法的主要步骤是先忽略微小影响(令小参数为0),求出精确解;然后把所要求的解表达为关于小参数的幂级数。这个方法可以用于解答代数方程、微分方程等等各种领域。下面先以一个简单的代数方程来说明:

一、求解方程:$\varepsilon x^3+x^2=p^2$

这是个简单的例子,它本身也存在精确解。但是由于一般的三次方程求根公式只具有理论分析的作用,因此从实用角度出发必须另外寻找更有效的方法。如果$\varepsilon $是一个小量,那就可以先忽略这一项,求解$x^2=p^2$,得到$x=\pm p$,不失一般性,我们以$x=p$为基础。假设精确解为
$$x=p+a_1 \varepsilon +a_2 \varepsilon^2 +a_3 \varepsilon^3+...$$

代入展开:
$$\begin{eqnarray*} \varepsilon (p+a_1 \varepsilon +a_2 \varepsilon^2 +...)^3+(p+a_1 \varepsilon +a_2 \varepsilon^2 +...)^2=p^2 \\ \varepsilon [p^3+3a_1 p^2 \varepsilon +3(a_1^2 p+a_2 p^2)\varepsilon^2 +...]+[p^2+2a_1 p \varepsilon +(a_1^2+2a_2 p) \varepsilon^2 +...]=p^2 \end{eqnarray*} $$

如果只考虑精确到$\varepsilon^2$,那么就有
$$\begin{eqnarray*} (p^3 \varepsilon +3a_1 p^2 \varepsilon^2)+[p^2+2a_1 p \varepsilon +(a_1^2+2a_2 p) \varepsilon^2 ]=p^2 \\ (p^3+2a_1 p) \varepsilon +(3a_1 p^2 +a_1^2+2a_2 p)\varepsilon^2 =0\end{eqnarray*} $$

只要每项的系数为零即可,所以有
$$\begin{eqnarray*} p^3+2a_1 p=0 \\ 3a_1 p^2 +a_1^2+2a_2 p=0 \end{eqnarray*} $$

解得:
$$\begin{eqnarray*} a_1=-\frac{p^2}{2} \\ a_2=\frac{5p^3}{8} \end{eqnarray*} $$

综上,$\varepsilon x^3+x^2=p^2$的近似解为$x=p-\frac{p^2}{2} \varepsilon+\frac{5p^3}{8}\varepsilon^2$。可以看出,要使它效果比较好,还需要有比较小的p值。虽然这个级数不一定收敛,但是无论如何,对于数值计算来说,它是一个很不错的近似。比如对于$0.1 x^3+x^2=1$,它给出$x=0.95625$,而精确解为0.9554...。

摄动法只是一个思想,它可以应用到数学物理的各个领域。事实上,在量子力学中,几乎所有的问题都是很复杂而无法精确求解的,而摄动法以及变分法则是量子力学中两种最基本、有效的近似方法,可见摄动法的重要意义。在接下来的文章里,我们企图探索摄动法在解微分方程中的应用。


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