科学空间|Scientific Spaces

之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》，简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库，“针对数论中的快速计算（大数分解，代数数论，椭圆曲线...）而设计”，它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用，而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能，那么GMP似乎更满足我们的需求。

了解C/C++的读者都会知道GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等^[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂，但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP，那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2。

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特殊的通项公式

对数学或编程感兴趣的读者，相信都已经很熟悉斐波那契数列了

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

它是由
$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad a_0=0,a_1=1$$
递推所得。读者或许已经见过它的通项公式
$$a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$
这里假设我们没有如此高的智商可以求出这个复杂的表达式出来，但是我们通过研究数列发现，这个数列越来越大时，相邻两项趋于一个常数，这个常数也就是（假设我们只发现了后面的数值，并没有前面的根式）
$$\beta=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1.61803398\dots$$

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前言：一年前国赛的时候，很初级地做了一下B题，做完之后还写了个《碎纸复原：一个人的数学建模》。当时就是对题目很有兴趣，然后通过一天的学习，基本完成了附件一二的代码，对附件三也只是有个概念。而今年我们上的数学建模课，老师把这道题作为大作业让我们做，于是我便再拾起了一年前的那份激情，继续那未完成的一个人的数学建模...

与去年不同的是，这次将所有代码用Python实现了，更简洁，更清晰，甚至可能更高效~~以下是论文全文。

研究背景

2011年10月29日，美国国防部高级研究计划局（DARPA）宣布了一场碎纸复原挑战赛（Shredder Challenge），旨在寻找到高效有效的算法，对碎纸机处理后的碎纸屑进行复原。[1]该竞赛吸引了全美9000支参赛队伍参与角逐，经过一个多月的时间，有一支队伍成功完成了官方的题目。

近年来，碎纸复原技术日益受到重视，它显示了在碎片中“还原真相”的可能性，表明我们可以从一些破碎的片段中“解密”出原始信息来。另一方面，该技术也和照片处理领域中的“全景图拼接技术”有一定联系，该技术是指通过若干张不同侧面的照片，合成一张完整的全景图。因此，分析研究碎纸复原技术，有着重要的意义。

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fashion_mnist_demo

mnist的手写数字识别数据集一直是各种机器学习算法的试金石之一，最近有个新的数据集要向它叫板，称为fashion-mnist，内容是衣服鞋帽等分类。为了便于用户往fashion-mnist迁移，作者把数据集做成了几乎跟mnist手写数字识别数据集一模一样——同样数量、尺寸的图片，同样是10分类，甚至连数据打包和命名都跟mnist一样。看来fashion mnist为了取代mnist，也是拼了，下足了功夫，一切都做得一模一样，最大限度降低了使用成本～这叫板的心很坚定呀。

叫板的原因很简单——很多人吐槽，如果一个算法在mnist没用，那就一定没用了，但如果一个算法在mnist上有效，那它也不见得在真实问题中有效～也就是说，这个数据集太简单，没啥代表性。

fashion-mnist的github：https://github.com/zalandoresearch/fashion-mnist/

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今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系，我记得我以前想要研究，但是并没有落实。既然她提问了，那么就完成这未完成的计划吧。

标准思路

简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（$n-1$维的平行面）分割，使得$n$维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
$$V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)dt$$
设$t=r\sin\theta_1$，就有
$$V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$

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ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如，如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下，如果直接代入计算，将会是一道十分繁琐的计算题。但是，我们知道，上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程，那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数，因此作用量的变换一般来说比较简单。比如，很容易写出，$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分，得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算，那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

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某天在浏览高教社的“i数学”编辑的微博时候，发现上面有一道Knotsevich在黑板上写的他认为很有意思的题目，原始网址是：http://weibo.com/3271276117/BBrL5foVz。

Knotsevich在黑板上写的级数题目

题目是这样的
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! (20n)!}{(4n)!(7n)!(10n)!}x^n\tag{1}$$
大概的目的是找出原函数的表达式吧。

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笔者最近迷上了数据挖掘和机器学习，要做数据分析首先得有数据才行。对于我等平民来说，最廉价的获取数据的方法，应该是用爬虫在网络上爬取数据了。本文记录一下笔者爬取天猫某商品的全过程，淘宝上面的店铺也是类似的做法，不赘述。主要是分析页面以及用Python实现简单方便的抓取。

笔者使用的工具如下

Python 3——极其方便的编程语言。选择3.x的版本是因为3.x对中文处理更加友好。

Pandas——Python的一个附加库，用于数据整理。

IE 11——分析页面请求过程（其他类似的流量监控工具亦可）。

剩下的还有requests,re，这些都是Python自带的库。

实例页面（美的某热水器）：http://detail.tmall.com/item.htm?id=41464129793

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