26
Feb
有限Vs无限:无穷电荷板的场|平行板电容
By 苏剑林 | 2011-02-26 | 52383位读者 | 引用
5
Mar
科学空间：2011年3月重要天象
By 苏剑林 | 2011-03-05 | 31970位读者 | 引用几颗经典行星，将成为3月星空剧场的主角。其中难得一见的水星将迎来一次观测条件很好的东大距，而到了下旬，土星也几乎整夜可见。随着落下时间的逐渐提前，木星的观测条件正逐渐变差。作为晨星的金星升起的时间也正不断推迟，我们将越来越难观测到它的身影。
天象大观
01日 11:40 金星合月: 1.7° S
11日 12:35 月合昴宿星团: 1.8° N
16日 04:16 水星合木星: 2° N
21日 07:21 春分
21日 19:00 月合角宿一: 2.5° N
21日 19:54 天王星合日
23日 08:59 水星大距: 18.6° E
31日 21:25 金星合月: 6.6° S
8
Mar
沐浴问题——调控水温
By 苏剑林 | 2011-03-08 | 26371位读者 | 引用载入正题之前，不妨闲扯一下BoJone的家...
BoJone在一些文章中已经提到过，我是一个来自农村的孩子，目前我的家也在农村。虽然生活并不能说“贫困”，家中也添置了不少电器，不过一直没有购置的就是洗衣机和热水器。洗衣机嘛，我觉得衣服自己动手洗是很好的，至少不让自己偷懒。至于热水器，因为家在农村，所以能够比较方便地弄到一些柴草，而且稻谷收割完后的桔梗也可以当燃料用，平时烧菜一般都用烧柴草，因此热水器实在没有多大必要。（很遗憾，沼气池没有能够在这里普及起来，大家可不要责怪我排放温室气体哦...^_^）
烧柴草的炉灶
既然没有热水器，那只能人工烧水了。往往是烧好一大锅水，洗澡时盛一盆子，然后加水降温，接着就可以洗白白了。本文的问题正是来源于调水温。当水很热时，为了加快降温，我们往往“双管齐下”：一边向盆子注入冷水，一般从盆子放出热水。于是就有了一个问题：水的温度与时间成什么关系？
12
Mar
历史上的谜案——刘徽有没有使用外推法？
By 苏剑林 | 2011-03-12 | 31914位读者 | 引用
刘徽
话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹，在今天已被不少学生知晓；虽不能说家喻户晓，但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙，刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的；不一样的是，刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积，而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢？其实阿基米德的方法应该更快一点，阿基米德算到正n边形所得到的值，相当于刘徽算到正2n边形了。
在此我们不再对两者的计算方法进行区分，因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法，“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然，刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式（现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开，而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值），甚至在他那个时代就连笔墨也没有，据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时，唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力，利用递推的方法逐步求圆周率。
4
Apr
科学空间：2011年4月重要天象
By 苏剑林 | 2011-04-04 | 28274位读者 | 引用
5
Apr
重提“旋转弹簧伸长”问题（变分解法）
By 苏剑林 | 2011-04-05 | 20851位读者 | 引用感谢Awank-Newton读者的来信，本文于2013.01.30作了修正，主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误，导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》
在下面的两篇文章中，BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题，并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程，然后再转变为微分方程来解；后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程，两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
今天，再经过一段时间的变分法涉猎后，BoJone尝试从变分的角度（总能量最小）来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离，该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$，该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$，旋转前的长度为$l_0$，旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态，由平衡态公理（参看《自然极值》系列），平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。
29
Apr
从对称角度看代数方程
By 苏剑林 | 2011-04-29 | 27261位读者 | 引用
大马国油双峰塔
这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。
对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）
我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$
这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$
这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。
淡白口蘑
达尔文的进化学说告诉我们，自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种，赋予它们更高的生存几率，久而久之，这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”，进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑，经过长期的选择，优良的形状会被累积下来，换句话讲，这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态（又是一个极值问题了）。好，现在我们来考虑蘑菇。
蘑菇是一种真菌生物，一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分，因此，它努力地调整自身的形状，使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的，那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题，理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢？聪明的你是否想到了是一个球体（的一部分）呢？
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