18 Mar

指数函数及其展开式孰大孰小?

在x>0时,指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小?

对于已经学习了微积分的朋友来说,这道题目是很简单的,甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”(因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数)。但是,这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中,就显得不那么简单了,得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯,拿到一张数学试卷,不是先做选择题,而是先做最后一题。所以在参加广州一模时,先花了半个小时把最后一题(即本题)解决了。下面是我想到的三种解法。

一、数学归纳法

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14 Jan

诡异的Dirac函数

量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:

设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

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23 May

高考倒计时15天...

偷空上来写写心情^_^

还有15天

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10 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(1)

帅气的天才科学家费曼

帅气的天才科学家费曼

似乎有好久都没有写文章感觉,高考结束了,继续研究。先总结一下考前的一些结果。

这个文章讲的是一个叫“积分符号内取微分”东西,这是一个很有趣而且有用的求定积分的方法。在这里我又擅自把它叫做“费曼积分法”,因为我是从费曼的自传《别闹了,费曼先生》中看到这种方法的。当然,费曼不是这个方法的首创者,他仅仅是是喜欢、熟练这种方法,并将它记载在了自传中。具体情况是怎样的呢?我先不多说,请读者直接看《别闹了,费曼先生》中的情节。

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12 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(2)

上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍,并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是,要了解一个方法,除了知道它能够干什么之外,还必须了解它的原理和方法,这样我们才能够更好地掌握它。因此,我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论,为进一步的应用奠基。

一般原理

我们记
$$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$$

在这里,f(x,a)是带有参数a的关于x的函数,而积分区间是关于参数a的两个函数,这样的积分也叫变限积分,可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数,也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$,那么按照微积分基本定理,我们就有:
$$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$$

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13 Jun

更换了一个相册程序

在此之前,BoJone的相册用的是phpyou相册程序,本来是喜欢它的简洁方便的,所以它这么多年不更新也没有介意。后来才发现,这个程序糟糕透了(不知道是不是我下载的版本不对)。昨天查了一下数据库,我发现我的数据库有16M大小,而一个phpyou就占用了12M,更离谱的是,它里边似乎镶嵌着许多不良敏感信息,所以,BoJone坚决抛弃它了。

现在使用的是kh_mod中文网址),而它也是基于之前的MG2架设的,也是属于简洁相册的类型。新相册基本保留了原来的目录结构和图片。当然,之前的相册已经很久没有更新了,以后会多与大家分享一些瞬间的^_^

新相册

新相册

23 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(3)

由于自行车之旅的原因,这篇文章被搁置了一个星期,其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中,发现它应用的基本方向和方法,从而提升对它的认识。

例子2:

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$

这也是一种比较常见的类型,它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$,对于这种形式,我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$,这样的目的很简单,就是把分母给消去了,与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现,纵使这样能够消去分母,使得第一次积分变得简单,但是到了第二次积分的时候,我们发现,它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分,使我们不能继续进行下去,因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

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26 Jun

费曼积分法——积分符号内取微分(4)

趁着早上有空,就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了,公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是,这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子,都是书本提供并结合了提示,BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。

数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题:

$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中,f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时,
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是:
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$

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