科学空间|Scientific Spaces

ODE的坐标变换

熟悉理论力学的读者应该能够领略到变分法在变换坐标系中的作用。比如，如果要将下面的平面二体问题方程
$$\left\{\begin{aligned}\frac{d^2 x}{dt^t}=\frac{-\mu x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
\frac{d^2 y}{dt^t}=\frac{-\mu y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{aligned}\right.\tag{1}$$
变换到极坐标系下，如果直接代入计算，将会是一道十分繁琐的计算题。但是，我们知道，上述方程只不过是作用量
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{\mu}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]dt\tag{2}$$
变分之后的拉格朗日方程，那么我们就可以直接对作用量进行坐标变换。而由于作用量一般只涉及到了一阶导数，因此作用量的变换一般来说比较简单。比如，很容易写出，$(2)$在极坐标下的形式为
$$S=\int \left[\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)+\frac{\mu}{r}\right]dt\tag{3}$$
对$(3)$进行变分，得到的拉格朗日方程为
$$\left\{\begin{aligned}&\ddot{r}=r\dot{\theta}^2-\frac{\mu}{r^2}\\
&\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\end{aligned}\right.\tag{4}$$
就这样完成了坐标系的变换。如果想直接代入$(1)$暴力计算，那么请参考《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

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实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理，一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说，如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$，而$F(x)$在$E$上可积，那么积分和取极限就可以交换，即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明，只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先，请有兴趣的读者，做做以下题目：
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$

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对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？

首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。

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某天在浏览高教社的“i数学”编辑的微博时候，发现上面有一道Knotsevich在黑板上写的他认为很有意思的题目，原始网址是：http://weibo.com/3271276117/BBrL5foVz。

Knotsevich在黑板上写的级数题目

题目是这样的
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! (20n)!}{(4n)!(7n)!(10n)!}x^n\tag{1}$$
大概的目的是找出原函数的表达式吧。

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数学分析中数列极限部分，有一个很基本的“柯西命题”：

如果$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，则
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$

本文所要谈的便是这个命题，当然还包括类似的一些题目。

柯西命题的证明

柯西命题的证明并不难，只需要根据极限收敛的定义，由于$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，所以任意给定$\varepsilon > 0$，存在足够大的$N$，使得对于任意的$n > N$，都有
$$\left|x_n - a\right| < \varepsilon/2\quad(\forall n > N)$$

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神经网络

在所有机器学习模型之中，也许最有趣、最深刻的便是神经网络模型了。笔者也想献丑一番，说一次神经网络。当然，本文并不打算从头开始介绍神经网络，只是谈谈我对神经网络的个人理解。如果希望进一步了解神经网络与深度学习的朋友，请移步阅读下面的教程：
http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL教程

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8775360

机器分类

这里以分类工作为例，数据挖掘或机器学习中，有很多分类的问题，比如讲一句话的情况进行分类，粗略点可以分类为“积极”或“消极”，精细点分为开心、生气、忧伤等；另外一个典型的分类问题是手写数字识别，也就是将图片分为10类（0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）。因此，也产生了很多分类的模型。

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本文要研究的是关于$t$的函数
$$\exp\left(\frac{1}{2}t^2+xt\right)$$
在$t=0$处的泰勒展开式。显然，它并不困难，手算或者软件都可以做出来，答案是：
$$1+x t+\frac{1}{2} \left(x^2+1\right) t^2+\frac{1}{6}\left(x^3+3 x\right) t^3 +\frac{1}{24} \left(x^4+6 x^2+3\right) t^4 + \dots$$
不过，本文将会给出笔者构造的该级数的一个图解方法。通过这个图解方法比较比较直观而方便地手算出展开式的前面一些项。后面我们再来谈谈这种图解技术的起源以及进一步的应用。

级数的图解方法：说明

首先，很明显要写出这个级数，关键是写出展开式的每一项，也就是要求出
$$f_k (x) = \left.\frac{d^k}{dt^k}\exp\left(\frac{1}{2}t^2+xt\right)\right|_{t=0}$$
$f_k (x)$是一个关于$x$的$k$次整系数多项式，$k$是展开式的阶，也是求导的阶数。

这里，我们用一个“点”表示一个$x$，用“两点之间的一条直线”表示“相乘”，那么，$x^2$就可以表示成

x^2项

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很久没有写过关于诺贝尔奖的消息了，最初几年都会非常关注，一有更新就转载到博客上面，而最近几年都仅仅是关注一下名单，并没有在博客上更新。这一次突然更新，是因为看到首次在诺贝尔医学奖上有了中国人的名字——屠呦呦，就来简单写写，算是与民同乐吧。

2015年诺贝尔医学奖

诺贝尔奖官方网址：http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/2015/tu-facts.html

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