科学空间|Scientific Spaces

带着鼓励与期待，科学空间迈入了新的一年。虽然天文年已经过去，但是天文不会过去。2010年仍将是精彩天象不断上演的一年，科学空间会一如既往地带给大家准确、丰富的天象信息，为大家的天文观测提供一点点有用信息。同时在此祝大家新的一年里更加开心快乐、更上一层楼！

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今天上午8：00，地心到月心距离356592.862公里，为今年相距最近时刻。

同样，在除夕节那天，也就是2月13日上午10点，月球过远地点，地心到月心距离406540.457公里，为今年相距最远时刻。

月亮在1/30/14:18达到望的时刻。对全球而言，由于这个满月恰好发生在今年内最近的近地点附近，以地球中心的观点来看，这是今年最大的满月。

然而，虽然这个满月刚好发生在今年内离地球最近的近地点附近，然而这时候是中国的白昼，无法见到月亮；而且（1）地球是有体积的，如果望的时刻不是发生在某个某个地区的晚上，则从地球表面的这个地区开始算起到月心的距离，会比地心到月心的距离来得远。而（2）等到该地区转到夜晚面，看得到月亮的时候，月亮其实也已经又再离开近地点一些。所以综合以上两个因素，对中国而言，所见的满月视直径就没那么大了。

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图片说明：神秘的Voynich(伏尼契)手稿，版权：Yale University&B. E. Schaefer (LSU)

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在圆周率日当天，滑铁卢大学会以供应免费的馅饼当庆祝。

π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 ...
$\pi \approx {355}/{113}$
“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐”

$\pi$，一个小小的符号，代表着一个伟大的数字。从古到今，几乎所有国家都有人研究过它。在很长的时期内，$\pi$的有效数字代表了这个国家的数学发展程度，在使用计算机计算以前，$\pi$的计算可谓是马拉松式进行。很早人们就知道了2-4位的有效数字（古希腊、古中国、古印度），众所周知之后祖冲之的3.1415926领先了一千多年；紧接着是西方的35位、100位、500位.....甚至有人穷其一生就为算$\pi$！自从计算机参与到其中之后，有效数字光速般增加，而在2009年末，有科学家已经用超级计算机计算出圆周率暂时计到小数点后2万9千亿个小数位。现在$\pi$的位数已经不大重要了（毕竟30位有效数字就完全足够用来精确衡量宇宙大小！），$\pi$的计算成为了测试计算机性能以及测试算法效率的一个指标！

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二体运动

在上一回的讨论中，我们已经解决了大部分的问题，并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中，我们做了以下工作：

由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$，代入(6)得到：
$$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}\tag{10}$$这是一个二阶微分方程，它的解很容易找出，但是这个积分太复杂：
$$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$，两端积分
$$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1\tag{11}$$$$\Rightarrow {dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$

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信使号的水星假色影像（维基百科）

进入4月，我们的天象剧场又逐渐热闹起来。9日的水星东大距，是全年水星为数不多的较佳观测时机之一。4月下旬天琴座流星雨也将如约而至，它的到来会使天文爱好者们的春夜观星计划更加丰富多彩。本月，火星、水星、土星，都是星空的主角！

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圆锥曲线

经过上两回的讨论，我们已经基本摸清了二体问题的运动情况。我们已经找到了二体问题在轨道为椭圆的时候的所有积分，给出了“活力公式”等常用公式的证明，并且留下了一些没有解答的问题。那就是在轨道为抛物线和双曲线时的最后一个积分还没有找出来，现在我们解决这两个问题。其中的关键积分依旧是
$\dot{r}^2={2\mu}/r-{\mu a(1-e^2)}/r^2-\frac{\mu}{a}$——(12)

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呵呵，做了一回标题党，可能说得夸张了一点。说是“终极算法”，主要是因为它可以任意提高精度、而且几乎可以应付任何非线性方程（至少理论上是这样），提高精度是已知的迭代式上添加一些项，而不是完全改变迭代式的形式，当然在提高精度的同时，计算量也会随之增大。其理论基础依旧是泰勒级数。

我们考虑方程$x=f(y)$，已知y求x是很容易的，但是已知x求y并不容易。我们考虑把y在$(x_0,y_0)$处展开成x的的泰勒级数。关键是求出y的n阶导数$\frac{d^n y}{dx^n}$。我们记$f^{(n)}(y)=\frac{d^n x}{dy^n}$，并且有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}=f'(y)^{-1}$$

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