科学空间|Scientific Spaces

Mathieu方程

在文章《有质动力：倒立单摆的稳定性》中，我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性，并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而，那个下限只不过是必要的，却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程，最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾，我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法，然后笔者偏爱的是解析方法，也就是说，即使是近似解，也希望能够求出近似的解析解。

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简单说说

《可畏的对称》

笔者最近陶醉于从李对称的角度来理解力学和场论，并且计算得到一些比较有趣的结果，遂想在此与大家分享。我发现，仅仅需要一个描述对称的无穷小生成元和一些最基本的假设，几乎就可以完成地推导出整个相对论力学来，甚至推导出整个（经典）场论理论来。这确实是不可思议的，我现在能基本体会到当年徐一鸿大师写的《可畏的对称》的含义了。对称的威力如此之大，以至于我们真的不得不敬畏它。而在构思本文题目的时候，我也曾想到过用“可畏的对称”为题，但不免有抄袭和老套之嫌。后来想到曾有一部漫画叫《一本漫画闯天涯》，遂将“漫画”改成“对称”，“天涯”改成“物理”，似乎也能表达我对“对称”的感觉。

对称就是在某种变换下保持不变的性质，比如狭义相对论要求所有物理定律在所有惯性系中保持不变，这相对于要求描述物理定律的方程在匀速运动的坐标变换下保持不变，结合光速不变的要求，我们就可以推导出洛伦兹变换，从而完成地描述了狭义相对论里边的对称。然而，并不是任何时候都可以想推导洛伦兹变换那样，能够把一个完整的变换推导出来的。幸好，李对称的不需要完整的对称描述，它只需要“无穷小变换”（意味着我们可以忽略掉高阶项），对应地产生一个“无穷小生成元”，用这个无穷小生成元，就足以完整构建出我们所需要的物理来。这种“无穷小”决定“广泛”、“局部”决定“全局”的奇妙至今仍让我觉得不可思议。（关于李对称、无穷小生成元的基本概念，不妨先阅读：《求解微分方程的李对称方法》）

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这是一道流传很广的趣题，也许不少读者已经听说过它，然而广为人知却不一定“广为人‘解’”，在此把题目给出来，写下我自己的答案，并且谈谈我对答案的看法。题目是这样子的：

与橡皮绳赛跑的蚂蚁
一只蚂蚁沿着一条长$l=100$米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如10秒后，橡皮绳就伸长了1000米。假设橡皮绳可以任意拉长，并且拉伸是均匀的。蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动，问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端？

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在《两百万前素数之和与前两百万素数之和》中，我们用Python求了前两百万的素数和以及两百万前的素数和，并且得到了在Python 3.3中的执行时间如下：

两百万前的素数之和：
142913828922
time: 2.4048174478605646

前两百万的素数之和：
31381137530481
time: 46.75734807838953

于是想办法提高python脚本的执行效率，我觉得在算法方面，优化空间已经比较小了，于是考虑执行器上的优化。在搜索的无意间我看到了一个名词——Psyco！这是python的一个外部模块，导入后可以加快.py脚本的执行。网上也有《用 Psyco 让 Python 运行得像 C一样快》、《利用 psyco 让 Python 程序执行更快》之类的文章，说明Psyco确实是一个可行的选择，于是就跃跃欲试了，后来了解到Psyco在2012年已经停止开发，只支持到Python 2.4版本，目前它由 PyPy所接替。于是我就下载了PyPy。

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写在前面：作为离散数学的实验作业，我选择了研究数独。经过测试发现，数独的自动推理还不算难，我把两种常规的推理思路转化为了计算机代码，并结合了随机性推导，得到了一个解题能力还不错的数独程序。事实上，本文的程序还可以进一步优化，以得到更高能力的数独程序（只需要整理一下代码，加上几个循环和判断即可），但是我实在太懒，没有动力继续弄下去了，就这样先和大家分享吧。最后，笔者认为本文的算法是更接近我们的思维的算法。

数独简介

历史

相传数独源起于拉丁方阵（Latin Square），1970年代在美国发展，改名为数字拼图（Number Place）、之后流传至日本并发扬光大，以数学智力游戏智力拼图游戏发表。在1984年一本游戏杂志《パズル通信ニコリ》正式把它命名为数独，意思是“在每一格只有一个数字”。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。

台湾于2005年5月由“中国时报”首度引进, 且每日连载, 亦造成很大的回响。台湾数独发展协会(Taiwan Sudoku Association, 简称 TSA)亦为世界解谜联盟会员。香港是在2005年7月30日由AM730在创刊时引入数独。中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独。北京晚报智力休闲数独俱乐部（数独联盟前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，成为世界谜题联合会的39个成员之一。（引用自“中文维基百科”： http://zh.wikipedia.org/wiki/数独）

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在对数学或物理进行事后分析，往往会发现一些奇怪的现象，也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换，可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式

我们知道，在原点处形态良好的函数，可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现，上面的幂都是正的，为什么不能包含$x$的负数次幂呢？比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是，结合复变函数，我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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标题说了两道比较好玩的编程题，如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话，那么让我再说得清晰一点：

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和；
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的，前一道题目是Project Euler的第10题，后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码，大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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学过线性代数的朋友都知道，方阵和非方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中，为什么非方阵却没有行列式？也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵，其实也可以类似地定义它的行列式，定义出来的东西，跟方阵的行列式具有同样的性质，比如某行乘上一个常数，行列式值也就乘以一个常数，等等；而且还可以把其几何意义保留下来。但是，非方阵的行列式是不够美的，因为对于一个一般的整数元素的方阵，我们的行列式是一个整数；而对于一个一般的整数元素的非方阵，却导致了一个无理数的行列式值。另外，一个也比较重要的原因是，单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由，非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数，它代表着向量之间的线性相关性；从几何上来讲，它就是向量组成的平行n维体的（有向）体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质，因为只有这样，方阵行列式的那些运算性质才得以保留，比如上面说的，行列式的一行乘上一个常数，行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵，其中$ m < n $，我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的，我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式，也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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