[欧拉数学]素数定理及加强

1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$

这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$

这就是~符号的要义，它还包括了极限情况，而≈不需要。和等号一样，~具有传递性，即A~B~C就有A~C。素数定理于1896年得到证明（复分析），后来还出现了一些高等或初等的证明。具体可以参考维基百科-素数定理。素数定理的根本意义在于：素数的出现看似无规律可循，可是总体地看，素数的个数竟然符合一定规律，这着实会让人意外和惊喜！

PNT的推论：1、N是素数的概率约为$\frac{1}{\ln N}$；2、第N个素数约为$N \ln N$。这两个表述和素数定理是等价的，换句话说，证明了其中一个，就可以得出另外两个

然而，虽然素数定理是成立的，但是它是在太粗糙了，对10¹²内的素数个数估计，它产生了4%的误差。下面我们将从上一篇文章的结果出发，得出一个“加强版”的素数定理。上一篇文章我们得到：
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{p}=Q > \ln \ln (p+1) -\ln2$$
，并且提到$\ln \ln p$是Q的一个相当好的近似。

在这里作一番粗糙的估计，我们直接写成：
$$Q_n=\ln \ln p_n$$
同时
$$Q_{n+1}=Q_n+\frac{1}{p_{n+1}}=\ln \ln p_{n+1}$$
相减得到
$$\frac{1}{p_{n+1}}=\ln \frac{\ln p_{n+1}}{\ln p_n}$$
即$\Delta p=p_{n+1}-p_n$，当$p_n$相当大时，$\Delta p$是“微不足道”的，根据近似式$\ln(x+\varepsilon ) \approx \ln x+\frac{\varepsilon }{x}$，就可以写出：
$$\begin{aligned}\frac{1}{p_{n+1}}&=\ln \frac{\ln p_{n+1}}{\ln p_n}=\ln \frac{\ln p_n+\frac{\Delta p}{p_n}}{\ln p_n}\\
&=\ln(1+\frac{\Delta p}{p_n \ln p_n})=\frac{\Delta p}{p_n \ln p_n}\end{aligned}$$

事实上，$\Delta p=p_{n+1}-p_n$被称为${p_n}$的“差分”。以前我们就以导数来近似代替差分，因为导数$\frac{dp}{dn}$的意义是点的切线的斜率，而$\frac{p_{n+1}-p_n}{(n+1)-n}$是(n,n+1)区间的平均斜率，在平缓单调的图像中，两者是近似的。而且由于$p_n$与$p_{n+1}$相差不大，因此我们把它们都记为p，于是得到了
$$\frac{dp}{dn}=\ln p$$

即$n=\int \frac{1}{\ln p} dp$，这就是加强版的素数定理！遗憾的是，这个积分不能写成初等函数的组合，但这并不妨碍我们使用它。数学家一般将它写成：
$$\pi(N)\sim Li(N)=\int_{0}^{N} \frac{1}{\ln t} dt$$

和素数定理一样，它是正确的；但正如《素数之恋》里边所说：它比成立还成立！它的意思是它是一个非常好的估计，对于10¹²内的素数个数估计，它给出的答案误差为0.0001%！

以上内容便是BoJone这一周的拙作。我们只从素数倒数之和的一条近似公式出发，就得到了现代数论中的一个深刻定理——改进版本的素数定理！这是各种数学技巧综合运用的结果。其中有一些合理之处，含有相当多的“直觉”，当然也有不严谨之处。每一步的处理未必是合理的，但都是相当有趣的。当然，这并非数学家们的推理过程，只是笔者的一次“头脑风暴”，愿与各位读者分享探讨！

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