科学空间|Scientific Spaces

农村的孩子免不了常做家务，当然我家也没有什么特别沉重的家务，通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜，洗完菜后总喜欢边放水边搅水，然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前，我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶（假设为圆柱形吧，但这不重要），水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转，直到桶内的水也随着匀角速度旋转（即水与水桶相对静止），此时水的液面形状是凹的，我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状，我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡：
http://kexue.fm/archives/1964/

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一个多月的暑假已经结束了，又回到了学校来。准确地说，昨天已经来到了学校，只是着搞卫生、社团等工作，无暇到blog上写点什么。早晨起来，一时无聊，就随便唠叨几句。

暑假就这样过去了，这也意味着大一完全过去了，我已经成为了师兄。曾不止一次感叹“光阴似箭，日月如梭”，而我越发地体味到这一点。不少人到了大学之后才明白高中生活的美好，而我有点不同，我在高中已经懂得大学并没有我们想象中的完美，所以我对大学和高中都抱有同样的眷恋和期待。大一过去了，从外边看来，我唯一的变化就是瘦了，沧桑了吧。还记得时隔一年的体检，我的体重居然少了十斤，以至于让我不得不怀疑那个秤的准确性；还记得多少次被小孩子喊做“叔叔”，被师兄称作“师兄”......

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从这个系列的第一篇文章到本文，已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的，为什么这么久才更新呢？原因有二，其一是随着春天的到来人也开始懒起来了，颓废呀～；其二，我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑，发展完质点力学理论后，下一步就是发展场论，诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西，即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点，我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果，即推导出电磁场的方程后，“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法，即假定场有这种对称性，然后就可以构建出场方程了。可是，为什么场存在着规范不变性，我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看，这个不变性似乎跟广义不变性有关（电磁场也是，这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性？）。还有，似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释，可是这样的话，就离我还很远了。

好吧，我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元，并进行了延拓。我已经说过，仅需要无穷小的变换形式，就可以构建出完成的相对论力学定律出来（当然这需要一些比较“显然”的假设）。这是个几乎从“无”到有的过程，也是本文标题的含义所在。另一方面，这种从局部到整体的可能性，也给我们带来一些启示：假如方法是普适的，那么可以由此构造出我们需要的物理定律来，包括电磁场、引力场方程等。（当然，我离这个目标还有点远。）

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笔者发现，有很多概率问题，尤其是独立重复实验问题，如果用生成函数的方法来做，会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例，它又被形象地叫做“醉汉问题”，其本质上是一个二项分布，但是由于取了极限，出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题：

考虑实数轴上的一个粒子，在$t=0$时刻它位于原点，每过一秒，它要不向前移动一格（+1），要不就向后移动一格（-1），问$n$秒后它所处位置的概率分布。

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我们在上一篇文章中已经看到，随机游走的概率分布是正态的，而在概率论中可以了解到正态分布（几乎）是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广，我们或许可以思考一个问题，究竟是随机游走造就了正态分布，还是正态分布造就了随机游走？换句话说，哪个更本质些？个人就自己目前所阅读到的内容来看，随机游走更本质些，随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性（比如每次测量的误差），它的分布正好就是正态分布，所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式，原则上来说，它更广泛，更深刻，其大名曰“路径积分”。

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在之前的文章《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》中，我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道，勾股数，也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解，由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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前段时间在研究费曼的路径积分理论，看到路径积分的微扰方法，也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义，有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者，请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来，这种逼近的技巧实际上非常粗糙，收敛范围和速度难以得到保证。事实上，数学上发展了各种各样的摄动技巧，来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些，但是仍然是类似的形式。

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笔者最近迷上了数据挖掘和机器学习，要做数据分析首先得有数据才行。对于我等平民来说，最廉价的获取数据的方法，应该是用爬虫在网络上爬取数据了。本文记录一下笔者爬取天猫某商品的全过程，淘宝上面的店铺也是类似的做法，不赘述。主要是分析页面以及用Python实现简单方便的抓取。

笔者使用的工具如下

Python 3——极其方便的编程语言。选择3.x的版本是因为3.x对中文处理更加友好。

Pandas——Python的一个附加库，用于数据整理。

IE 11——分析页面请求过程（其他类似的流量监控工具亦可）。

剩下的还有requests,re，这些都是Python自带的库。

实例页面（美的某热水器）：http://detail.tmall.com/item.htm?id=41464129793

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