科学空间|Scientific Spaces

预训练刚兴起时，在语言模型的输出端重用Embedding权重是很常见的操作，比如BERT、第一版的T5、早期的GPT，都使用了这个操作，这是因为当模型主干部分不大且词表很大时，Embedding层的参数量很可观，如果输出端再新增一个独立的同样大小的权重矩阵的话，会导致显存消耗的激增。不过随着模型参数规模的增大，Embedding层的占比相对变小了，加之《Rethinking embedding coupling in pre-trained language models》等研究表明共享Embedding可能会有些负面影响，所以现在共享Embedding的做法已经越来越少了。

本文旨在分析在共享Embedding权重时可能遇到的问题，并探索如何更有效地进行初始化和参数化。尽管共享Embedding看起来已经“过时”，但这依然不失为一道有趣的研究题目。

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上周在《Transformer升级之路：12、无限外推的ReRoPE？》中，笔者提出了ReRoPE和Leaky ReRoPE，诸多实验结果表明，它们能够在几乎不损失训练效果的情况下免微调地扩展LLM的Context长度，并且实现了“longer context, lower loss”的理想特性，此外跟NTK-aware Scaled RoPE不同的是，其中ReRoPE似乎还有表现出了无限的Context处理能力。

总之，ReRoPE看起来相当让人满意，但美中不足的是会增加推理成本，具体表现为第一步推理需要算两次Attention，以及后续每步推理需要重新计算位置编码。本文试图通过在训练中逆用Leaky ReRoPE的方法来解决这个问题。

回顾

让我们不厌其烦地重温一下：RoPE形式上是一种绝对位置编码，但实际达到的效果是相对位置编码，对应的相对位置矩阵是：
\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & \\
1 & 0 & \\
2 & 1 & 0 &\\
3 & 2 & 1 & 0 & \\
\ddots & 3 & 2 & 1 & 0 & \\
\ddots & \ddots & 3 & 2 & 1 & 0 & \\
\ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\
\tiny{L - 2} & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\
\tiny{L - 1} & \tiny{L - 2} & \ddots & \ddots & \ddots & 3 & 2 & 1 & 0 & \\
\end{pmatrix}\label{eq:rope}\end{equation}

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铁锅（网络图）

很多会下厨的同学估计都纠结过一件事情，那就是炒锅的选择。

对于炒锅的纠结，归根结底是不粘与方便的权衡。最简单的不粘锅自然是带涂层的不粘锅，如果家里的热源只有电磁炉，并且炒菜习惯比较温和，那么涂层不粘锅往往是最佳选择了。不过，一旦有了明火的燃气灶，又或者是比较喜欢爆炒，那么涂层锅可能就不是那么适合了，毕竟温度过高涂层总有脱落的风险，此时一般就考虑无涂层不粘锅。

无涂层不粘锅也有五花八门的选择，比如朴素的铁锅、带蜂窝纹的不锈钢锅、有钛锅、纯钛锅等等，价格大体上也单调递增。不过用到最后，我觉得大部分人都会回归到朴素的铁锅。

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大体上，我们可以将目前Transformer的长度外推技术分为两类：一类是事后修改，比如NTK-RoPE、YaRN、ReRoPE等，这类方法的特点是直接修改推理模型，无需微调就能达到一定的长度外推效果，但缺点是它们都无法保持模型在训练长度内的恒等性；另一类自然是事前修改，如ALIBI、KERPLE、XPOS以及HWFA等，它们可以不加改动地实现一定的长度外推，但相应的改动需要在训练之前就引入，因此无法不微调地用于现成模型，并且这类方法是否能够Scale Up还没得到广泛认可。

在这篇文章中，笔者将介绍一种意外发现的长度外推方案——“KeyNorm”——对Attention的Key序列做L2 Normalization，很明显它属于事前修改一类，但对Attention机制的修改非常小，因此看上去非常有希望能够Scale Up。

最初动机

之所以说“意外发现”，是因为该改动的原始动机并不是长度外推，而是尝试替换Scaled Dot-Product Attention中的Scale方式。我们知道，Attention的标准定义是（本文主要考虑Causal场景）
\begin{equation}\boldsymbol{o}_i = \frac{\sum_{j = 1}^i\exp\left(\frac{\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}{\sqrt{d}}\right)\boldsymbol{v}_j}{\sum_{j = 1}^i\exp\left(\frac{\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}{\sqrt{d}}\right)},\quad \boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{k}_j\in\mathbb{R}^d\label{eq:sdpa}\end{equation}

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作为LLM的主流模型架构，Transformer在各类任务上的总体表现都出色，大多数情况下，Transformer的槽点只是它的平方复杂度，而不是效果——除了一个名为Long Range Arena（下面简称LRA）的Benchmark。一直以来，LRA一直是线性RNN类模型的“主场”，与之相比Transformer在上面有明显的差距，以至于让人怀疑这是否就是Transformer的固有缺陷。

不过，近日论文《Never Train from Scratch: Fair Comparison of Long-Sequence Models Requires Data-Driven Priors》将这“缺失的一环”给补齐了。论文指出，缺乏预训练是Transformer在LRA上效果较差的主要原因，而所有架构都可以通过预训练获得一定的提升，Transformer的提升则更为明显。

旧背景

Long Range Arena（LRA）是长序列建模的一个Benchmark，提出自论文《Long Range Arena: A Benchmark for Efficient Transformers》，从论文标题就可以看出，LRA是为了测试各种Efficient版的Transformer而构建的，里边包含了多种类型的数据，序列长度从1k到16k不等，此前不少Efficient Transformer的工作也都在LRA进行了测试。虽然在代表性方面有些争议，但LRA依然不失为一个测试Efficient Transformer的长序列能力的经典Benchmark。

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Efficient Transformer，泛指一切致力于降低Transformer的二次复杂度的工作，开始特指针对Attention的改进，后来更一般的思路，如傅里叶变换、线性RNN等，也被归入这个范畴。不得不说，为了降低Transformer的二次复杂度，各路大牛可谓是“八仙过海，各显神通”，各种神奇的思路“百花齐放”，笔者也从中学习到了不少理论知识。然而，尽管Efficient Transformer在理论上是精彩的，但实际上该领域一直都是不愠不火的状态，并没有实际表现十分出色的模型，在LLM火爆的今天，甚至已经逐渐淡出了大家的视野，也淡出了笔者的兴趣范围。

不过，最近有一篇论文《Transformer-VQ: Linear-Time Transformers via Vector Quantization》，却让笔者为之拍案叫绝。作者非常高明地洞察到，只需要对标准Attention的Key做一下VQ（Vector Quantize），复杂度就会自动降低为线性！这种线性化思路保留了标准Attention的形式，是标准Attention到线性Attention的一个完美过渡，同时最大程度上保留了标准Attention的能力。

高效难题

说起来，本站也算是比较早关注Efficient Transformer相关工作了，最早可以追溯到2019年解读Sparse Transformer的一篇博客《为节约而生：从标准Attention到稀疏Attention》。此后，陆续写的关于Efficient Transformer的其他博文还有

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在生成扩散模型的发展史上，DDIM和同期Song Yang的扩散SDE都称得上是里程碑式的工作，因为它们建立起了扩散模型与随机微分方程（SDE）、常微分方程（ODE）这两个数学领域的紧密联系，从而允许我们可以利用SDE、ODE已有的各种数学工具来对分析、求解和拓展扩散模型，比如后续大量的加速采样工作都以此为基础，可以说这打开了生成扩散模型的一个全新视角。

本文我们聚焦于ODE。在本系列的（六）、（十二）、（十四）、（十五）、（十七）等博客中，我们已经推导过ODE与扩散模型的联系，本文则对扩散ODE的采样加速做简单介绍，并重点介绍一种巧妙地利用“中值定理”思想的新颖采样加速方案“AMED”。

欧拉方法

正如前面所说，我们已经有多篇文章推导过扩散模型与ODE的联系，所以这里不重复介绍，而是直接将扩散ODE的采样定义为如下ODE的求解：
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\label{eq:dm-ode}\end{equation}

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之前在《Transformer升级之路：3、从Performer到线性Attention》、《为什么现在的LLM都是Decoder-only的架构？》等文章中，我们从Attention矩阵的“秩”的角度探讨了Attention机制，并曾经判断线性Attention不如标准Attention的关键原因正是“低秩瓶颈”。然而，这一解释对于双向的Encoder模型或许成立，但却难以适用于单向的Decoder模型，因为Decoder的Attention矩阵的上三角部分是被mask掉的，留下的下三角矩阵必然是满秩的，而既然都是满秩了，那么低秩瓶颈问题似乎就不复存在了。

所以，“低秩瓶颈”并不能完全解释线性Attention的能力缺陷。在这篇文章中，笔者试图寻求另一个角度的解释。简单来说，与标准Attention相比，线性Attention更难“集中注意力”，从而难以准确地定位到关键token，这大概是它效果稍逊一筹的主要原因。

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