印象中很早之前就看到过VQ-VAE,当时对它并没有什么兴趣,而最近有两件事情重新引起了我对它的兴趣。一是VQ-VAE-2实现了能够匹配BigGAN的生成效果(来自机器之心的报道);二是我最近看一篇NLP论文《Unsupervised Paraphrasing without Translation》时发现里边也用到了VQ-VAE。这两件事情表明VQ-VAE应该是一个颇为通用和有意思的模型,所以我决定好好读读它。

个人复现的VQ-VAE在CelebA上的重构效果。可以留意到细节保留得还不错,但稍微放大后能留意到仍有一些模糊感。

个人复现的VQ-VAE在CelebA上的重构效果。可以留意到细节保留得还不错,但稍微放大后能留意到仍有一些模糊感。

模型综述 #

VQ-VAE(Vector Quantised - Variational AutoEncoder)首先出现在论《Neural Discrete Representation Learning》,跟VQ-VAE-2一样,都是Google团队的大作。

有趣却玄虚 #

作为一个自编码器,VQ-VAE的一个明显特征是它编码出的编码向量是离散的,换句话说,它最后得到的编码向量的每个元素都是一个整数,这也就是“Quantised”的含义,我们可以称之为“量子化”(跟量子力学的“量子”一样,都包含离散化的意思)。

明明整个模型都是连续的、可导的,但最终得到的编码向量却是离散的,并且重构效果看起来还很清晰(如文章开头的图),这至少意味着VQ-VAE会包含一些有意思、有价值的技巧,值得我们学习一番。不过,读了原论文之后,总感觉原论文写得有点难懂。这种难懂不是像ON-LSTM原论文那样的晦涩难懂,而是有种“故弄玄虚”的感觉。

首先,你读完整篇论文就会明白,VQ-VAE其实就是一个AE(自编码器)而不是VAE(变分自编码器),我不知道作者出于什么目的非得用概率的语言来沾VAE的边,这明显加大了读懂这篇论文的难度。其次,VQ-VAE的核心步骤之一是Straight-Through Estimator,这是将引变量离散化后的优化技巧,在原论文中没有稍微详细的讲解,以至于必须看源码才能更好地知道它说啥。最后,论文的核心思想也没有很好地交代清楚,给人的感觉是纯粹在介绍模型本身而没有介绍模型思想。

PixelCNN #

要追溯VQ-VAE的思想,就不得不谈到自回归模型。可以说,VQ-VAE做生成模型的思路,源于PixelRNNPixelCNN之类的自回归模型,这类模型留意到我们要生成的图像,实际上是离散的而不是连续的。以cifar10的图像为例,它是$32\times 32$大小的3通道图像,换言之它是一个$32\times 32\times 3$的矩阵,矩阵的每个元素是0~255的任意一个整数,这样一来,我们可以将它看成是一个长度为$32\times 32\times 3=3072$的句子,而词表的大小是256,从而用语言模型的方法,来逐像素地、递归地生成一张图片(传入前面的所有像素,来预测下一个像素),这就是所谓的自回归方法:
\begin{equation}p(x)=p(x_1)p(x_2|x_1)\dots p(x_{3n^2}|x_1,x_2,\dots,x_{3n^2-1})\end{equation}
其中$p(x_1),p(x_2|x_1),\dots,p(x_{3n^2}|x_1,x_2,\dots,x_{3n^2-1})$每一个都是256分类问题,只不过所依赖的条件有所不同。

PixelRNN、PixelCNN网上都有一定的资料介绍了,这里不再赘述,我感觉其实也可以蹭着Bert的热潮,去搞个PixelAtt(Attention)来做它。自回归模型的研究主要集中在两方面:一方面是如何设计这个递归顺序,使得模型可以更好地生成采样,因为图像的序列不是简单的一维序列,它至少是二维的,更多情况是三维的,这种情况下你是“从左往右再从上到下”、“从上到下再从左往右”、“先中间再四周”或者是其他顺序,都很大程度上影响着生成效果;另一方面是研究如何加速采样过程。在我读到的文献里,自回归模型比较新的成果是ICLR2019的工作《Generating High Fidelity Images with Subscale Pixel Networks and Multidimensional Upscaling》

自回归的方法很稳妥,也能有效地做概率估计,但它有一个最致命的缺点:。因为它是逐像素地生成的,所以要每个像素地进行随机采样,上面举例的cifar10已经算是小图像的,目前做图像生成好歹也要做到$128\times 128\times 3$的才有说服力了吧,这总像素接近5万个(想想看要生成一个长度为5万的句子),真要逐像素生成会非常耗时。而且这么长的序列,不管是RNN还是CNN模型都无法很好地捕捉这么长的依赖。

原始的自回归还有一个问题,就是割裂了类别之间的联系。虽然说因为每个像素是离散的,所以看成256分类问题也无法,但事实上连续像素之间的差别是很小的,纯粹的分类问题捕捉到这种联系。更数学化地说,就是我们的目标函数交叉熵是$-\log p_t$,假如目标像素是100,如果我预测成99,因为类别不同了,那么$p_t$就接近于0,$-\log p_t$就很大,从而带来一个很大的损失。但从视觉上来看,像素值是100还是99差别不大,不应该有这么大的损失。

VQ-VAE #

针对自回归模型的固有毛病,VQ-VAE提出的解决方案是:先降维,然后再对编码向量用PixelCNN建模。

降维离散化 #

看上去这个方案很自然,似乎没什么特别的,但事实上一点都不自然。

因为PixelCNN生成的离散序列,你想用PixelCNN建模编码向量,那就意味着编码向量也是离散的才行。而我们常见的降维手段,比如自编码器,生成的编码向量都是连续性变量,无法直接生成离散变量。同时,生成离散型变量往往还意味着存在梯度消失的问题。还有,降维、重构这个过程,如何保证重构之后出现的图像不失真?如果失真得太严重,甚至还比不上普通的VAE的话,那么VQ-VAE也没什么存在价值了。

幸运的是,VQ-VAE确实提供了有效的训练策略解决了这两个问题。

最邻近重构 #

在VQ-VAE中,一张$n\times n\times 3$的图片$x$先被传入一个$encoder$中,得到连续的编码向量$z$:
\begin{equation}z = encoder(x)\end{equation}
这里的$z$是一个大小为$d$的向量。另外,VQ-VAE还维护一个Embedding层,我们也可以称为编码表,记为
\begin{equation}E = [e_1, e_2, \dots, e_K]\end{equation}
这里每个$e_i$都是一个大小为$d$的向量。接着,VQ-VAE通过最邻近搜索,将$z$映射为这$K$个向量之一:
\begin{equation}z\to e_k,\quad k = \mathop{\arg\min}_j \Vert z - e_j\Vert_2\end{equation}
我们可以将$z$对应的编码表向量记为$z_q$,我们认为$z_q$才是最后的编码结果。最后将$z_q$传入一个$decoder$,希望重构原图$\hat{x}=decoder(z_q)$。

整个流程是:
\begin{equation}x\xrightarrow{encoder} z \xrightarrow{\text{最邻近}} z_q \xrightarrow{decoder}\hat{x}\end{equation}
这样一来,因为$z_q$是编码表$E$中的向量之一,所以它实际上就等价于$1,2,\dots,K$这$K$个整数之一,因此这整个流程相当于将整张图片编码为了一个整数。

当然,上述过程是比较简化的,如果只编码为一个向量,重构时难免失真,而且泛化性难以得到保证。所以实际编码时直接用多层卷积将$x$编码为$m\times m$个大小为$d$的向量:
\begin{equation}z = \begin{pmatrix}z_{11} & z_{12} & \dots & z_{1m}\\
z_{21} & z_{22} & \dots & z_{2m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
z_{m1} & z_{m2} & \dots & z_{mm}\\
\end{pmatrix}\end{equation}
也就是说,$z$的总大小为$m\times m\times d$,它依然保留着位置结构,然后每个向量都用前述方法映射为编码表中的一个,就得到一个同样大小的$z_q$,然后再用它来重构。这样一来,$z_q$也等价于一个$m\times m$的整数矩阵,这就实现了离散型编码

自行设计梯度 #

我们知道,如果是普通的自编码器,直接用下述loss进行训练即可:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z)\Vert_2^2\end{equation}
但是,在VQ-VAE中,我们用来重构的是$z_q$而不是$z$,那么似乎应该用这个loss才对:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z_q)\Vert_2^2\end{equation}
但问题是$z_q$的构建过程包含了$\arg\min$,这个操作是没梯度的,所以如果用第二个loss的话,我们没法更新$encoder$。

换言之,我们的目标其实是$\Vert x - decoder(z_q)\Vert_2^2$最小,但是却不好优化,而$\Vert x - decoder(z)\Vert_2^2$容易优化,但却不是我们的优化目标。那怎么办呢?当然,一个很粗暴的方法是两个都用:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z)\Vert_2^2 + \Vert x - decoder(z_q)\Vert_2^2\end{equation}
但这样并不好,因为最小化$\Vert x - decoder(z)\Vert_2^2$并不是我们的目标,会带来额外的约束。

VQ-VAE使用了一个很精巧也很直接的方法,称为Straight-Through Estimator,你也可以称之为“直通估计”,它最早源于Benjio的论文《Estimating or Propagating Gradients Through Stochastic Neurons for Conditional Computation》,在VQ-VAE原论文中也是直接抛出这篇论文而没有做什么讲解。但事实上直接读这篇原始论文是一个很不友好的选择,还不如直接读源代码。

事实上Straight-Through的思想很简单,就是前向传播的时候可以用想要的变量(哪怕不可导),而反向传播的时候,用你自己为它所设计的梯度。根据这个思想,我们设计的目标函数是:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z + sg[z_q - z])\Vert_2^2\end{equation}
其中$sg$是stop gradient的意思,就是不要它的梯度。这样一来,前向传播计算(求loss)的时候,就直接等价于$decoder(z + z_q - z)=decoder(z_q)$,然后反向传播(求梯度)的时候,由于$z_q - z$不提供梯度,所以它也等价于$decoder(z)$,这个就允许我们对$encoder$进行优化了。

顺便说一下,基于这个思想,我们可以为很多函数自己自定义梯度,比如$x + sg[\text{relu}(x) - x]$就是将$\text{relu}(x)$的梯度定义为恒为1,但是在误差计算是又跟$\text{relu}(x)$本身等价。当然,用同样的方法我们可以随便指定一个函数的梯度,至于有没有实用价值,则要具体任务具体分析了。

维护编码表 #

要注意,根据VQ-VAE的最邻近搜索的设计,我们应该期望$z_q$和$z$是很接近的(事实上编码表$E$的每个向量类似各个$z$的聚类中心出现),但事实上未必如此,即使$\Vert x - decoder(z)\Vert_2^2$和$\Vert x - decoder(z_q)\Vert_2^2$都很小,也不意味着$z_q$和$z$差别很小(即$f(z_1)=f(z_2)$不意味着$z_1 = z_2$)。

所以,为了让$z_q$和$z$更接近,我们可以直接地将$\Vert z - z_q\Vert_2^2$加入到loss中:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z + sg[z_q - z])\Vert_2^2 + \beta \Vert z - z_q\Vert_2^2\end{equation}
除此之外,还可以做得更仔细一些。由于编码表($z_q$)相对是比较自由的,而$z$要尽力保证重构效果,所以我们应当尽量“让$z_q$去靠近$z$”而不是“让$z$去靠近$z_q$”,而因为$\Vert z_q - z\Vert_2^2$的梯度等于对$z_q$的梯度加上对$z$的梯度,所以我们将它等价地分解为
\begin{equation}\Vert sg[z] - z_q\Vert_2^2 + \Vert z - sg[z_q]\Vert_2^2\end{equation}
第一项相等于固定$z$,让$z_q$靠近$z$,第二项则反过来固定$z_q$,让$z$靠近$z_q$。注意这个“等价”是对于反向传播(求梯度)来说的,对于前向传播(求loss)它是原来的两倍。根据我们刚才的讨论,我们希望“让$z_q$去靠近$z$”多于“让$z$去靠近$z_q$”,所以可以调一下最终的loss比例:
\begin{equation}\Vert x - decoder(z + sg[z_q - z])\Vert_2^2 + \beta \Vert sg[z] - z_q\Vert_2^2 + \gamma \Vert z - sg[z_q]\Vert_2^2\end{equation}
其中$\gamma < \beta$,在原论文中使用的是$\gamma = 0.25 \beta$。

(注:还可以用滑动评论的方式更新编码表,详情请看原论文。)

拟合编码分布 #

经过上述一大通设计之后,我们终于将图片编码为了$m\times m$的整数矩阵了,由于这个$m\times m$的矩阵一定程度上也保留了原来输入图片的位置信息,所以我们可以用自回归模型比如PixelCNN,来对编码矩阵进行拟合(即建模先验分布)。通过PixelCNN得到编码分布后,就可以随机生成一个新的编码矩阵,然后通过编码表$E$映射为浮点数矩阵$z_q$,最后经过$deocder$得到一张图片。

一般来说,现在的$m\times m$比原来的$n\times n\times 3$要小得多,比如我在用CelebA数据做实验的时候,原来$128\times 128\times 3$的图可以编码为$32\times 32$的编码而基本不失真,所以用自回归模型对编码矩阵进行建模,要比直接对原始图片进行建模要容易得多。

个人的复现 #

这是自己用Keras实现的VQ-VAE(Python 2.7 + Tensorflow 1.8 + Keras 2.2.4,其中模型部分参考了这个):
https://github.com/bojone/vae/blob/master/vq_vae_keras.py

这个脚本的正文部分只包含VQ-VAE的编码和重构(文章开头的图就是笔者用这个脚本重构的,可见重构效果还可以),没有包含用PixelCNN建模先验分布。不过最后的注释那里包含了一个用Attention来建模先验分布的例子,用Attention建模先验分布后,随机采样的效果如下:

个人用PixelAtt建模先验分布后的随机采样效果(随机挑选的,没有经过筛选)

个人用PixelAtt建模先验分布后的随机采样效果(随机挑选的,没有经过筛选)

效果图一定程度上表明这样的随机采样是可行的,但是这样的生成效果不能说很好。我用PixelAtt而不是PixelCNN的原因是在我的复现里PixelCNN效果比PixelAtt还差得多,所以PixelAtt是有一定优势的,但缺点是PixelAtt太耗显存,容易OOM。不过我个人的复现不够好也不意味着这套方法不够好,可能是我没调好的原因,也能使网络不够深之类的。我个人是比较看好这种离散化的编码研究的。

最后的总结 #

到此,总算把VQ-VAE用自己认为比较好的方式讲清楚了。纵观全文,其实没有任何VAE的味道,所以我说它其实就是一个AE,一个编码为离散型向量的AE。它能重构出比较清晰的图像,则是因为它编码时保留了足够大的feature map~

如果弄懂了VQ-VAE,那么它新出的2.0版本也就没什么难理解的了,VQ-VAE-2相比VQ-VAE几乎没有本质上的技术更新,只不过把编码和解码都分两层来做了(一层整体,一层局部),从而使得生成图像的模糊感更少(相比至少是少很多了,但其实你认真看VQ-VAE-2的大图,还是有略微的模糊感的)。

不过值得肯定的是,VQ-VAE整个模型还是挺有意思,离散型编码、用Straight-Through的方法为梯度赋值等新奇特点,非常值得我们认真学习,能加深我们对深度学习的模型和优化的认识(梯度你都能设计了,还担心设计不好模型吗?)。

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苏剑林. (2019, Jun 24). 《VQ-VAE的简明介绍:量子化自编码器 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/6760