让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理：理论篇

今天我们来学习Johnson-Lindenstrauss引理，由于名字比较长，下面都简称“JL引理”。

个人认为，JL引理是每一个计算机科学的同学都必须了解的神奇结论之一，它是一个关于降维的著名的结果，它也是高维空间中众多反直觉的“维度灾难”现象的经典例子之一。可以说，JL引理是机器学习中各种降维、Hash等技术的理论基础，此外，在现代机器学习中，JL引理也为我们理解、调试模型维度等相关参数提供了重要的理论支撑。

对数的维度 #

JL引理，可以非常通俗地表达为：

通俗版JL引理： 塞下$N$个向量，只需要$\mathcal{O}(\log N)$维空间。

具体来说，JL引理说的是，不管这$N$个向量原来是多少维的，我们都可以将它们降到$\mathcal{O}(\log N)$，并将相对距离的误差控制在一定范围内。可以想象，这是一个非常强、非常反直觉、非常实用的结论，比如我们要做向量检索，原本的向量维度可能非常大，这样全量检索一次的成本也非常大，而JL引理告诉我们，可以将它们变换到$\mathcal{O}(\log N)$维，并且检索效果近似不变，这简直就是“天上掉馅饼”的好事！

可能读者会有疑问：这么强的结论，那么对应的降维方法会不会特别复杂？答案是刚刚相反，降维过程仅仅用到随机线性投影！甚至有评价说，JL引理是一个“证明比理解更容易的结论”，也就是说，从数学上证明它还真不算特别困难，但如何直观地理解这个反直觉的结论，反而是不那么容易的。

无独有偶，我们之前其实就介绍过两个反直觉的结果：在文章《n维空间下两个随机向量的夹角分布》中，我们就介绍过“高维空间中任意两个向量几乎都是垂直的”，这显然与二维、三维空间的结果差距甚远；在文章《从几何视角来理解模型参数的初始化策略》中，这个结果进一步升级为“从$\mathcal{N}(0,1/n)$采样出来的$n\times n$矩阵几乎是一个正交矩阵”，这更与我们一直理解的“正交性是非常苛刻的（要求转置等于逆）”有严重出入。

但事实上，这两个结论不仅对，而且还跟JL引理直接相关。可以说，JL引理可以看成是它们的细化和应用。所以，我们需要先用更定量的语言来刻画这两个结论，比如“几乎垂直”，那垂直的概率究竟有多少，比如“近似正交”，那误差究竟有多大。

概率不等式 #

为此，我们需要一些概率知识，其中最主要是“马尔可夫不等式”：

马尔可夫不等式：如果$x$是非负随机变量，$a > 0$，那么 \begin{equation}P(x\geq a)\leq \frac{\mathbb{E}[x]}{a}\end{equation}

注意该不等式并没有对$x$所服从的分布有其他特别的限制，只要求随机变量的取值空间是非负的（或者等价地，负的$x$的概率恒为0），证明其实非常简单：
\begin{equation}\mathbb{E}[x]=\int_0^{\infty}x p(x) \geq \int_a^{\infty}x p(x) \geq \int_a^{\infty} a p(x) = a P(x\geq a)\end{equation}

马尔可夫不等式要求随机变量是非负的，但我们平时要处理的随机变量不一定是非负的，所以通常需要变换一下才能用。比如$x - \mathbb{E}[x]$不是非负的，但$|x - \mathbb{E}[x]|$是非负的，于是利用马尔可夫不等式有：
\begin{equation}P(|x - \mathbb{E}[x]|\geq a) = P((x - \mathbb{E}[x])^2\geq a^2) \leq \frac{\mathbb{E}[(x - \mathbb{E}[x])^2]}{a^2}=\frac{\mathbb{V}ar[x]}{a^2}\end{equation}
这就是“切比雪夫不等式”。

另外一个经典技巧称为“Cramér-Chernoff方法”，也是我们后面主要利用到的方法，它通过指数函数将随机变量变成非负的：对于任意$\lambda > 0$，我们有
\begin{equation}x \geq a \quad\Leftrightarrow\quad \lambda x \geq \lambda a \quad\Leftrightarrow\quad e^{\lambda x} \geq e^{\lambda a}\end{equation}
所以利用马尔可夫不等式有
\begin{equation}P(x \geq a) = P(e^{\lambda x} \geq e^{\lambda a})\leq e^{-\lambda a}\mathbb{E}[e^{\lambda x}]\end{equation}
最左端是跟$\lambda$无关的，但是最右端有一个$\lambda$，而这不等式是对于任意$\lambda > 0$都成立的。所以理论上，我们可以找到使得最右端最小的$\lambda$，以获得最高的估计精度：
\begin{equation}P(x \geq a) \leq \min_{\lambda > 0} e^{-\lambda a}\mathbb{E}[e^{\lambda x}]\end{equation}

引理的引理 #

现在，我们可以引入如下结果，它是JL引理的引理，甚至可以说，它是本文一切结论的理论基础：

单位模引理： 设$u\in\mathbb{R}^{n}$是独立重复采样自$\mathcal{N}(0,1/n)$的向量，$\varepsilon \in (0, 1)$是给定常数，那么我们有 \begin{equation}P(|\Vert u\Vert^2 - 1| \geq \varepsilon) \leq 2\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\end{equation}

该引理告诉我们，当$n$足够大的时候，$u$的模长明显偏离1的概率是非常小的（给定$\varepsilon$后，将以$n$的指数形式递减至0），所以从$\mathcal{N}(0,1/n)$采样出来的$n$维向量将会非常接近单位向量。

它的证明正是用到“Cramér-Chernoff方法”：首先$|\Vert u\Vert^2 - 1| \geq \varepsilon$意味着$\Vert u\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon$或$1 - \Vert u\Vert^2\geq \varepsilon$，我们需要分别进行推导，不失一般性，先推导$\Vert u\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon$的概率，根据Cramér-Chernoff方法，有
\begin{equation}P(\Vert u\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon) \leq \min_{\lambda > 0} e^{-\lambda \varepsilon}\mathbb{E}\big[e^{\lambda (\Vert u\Vert^2 - 1)}\big] = \min_{\lambda > 0} e^{-\lambda (\varepsilon + 1)}\mathbb{E}\big[e^{\lambda \Vert u\Vert^2}\big]\end{equation}
将$u$写成分量形式$(u_1, u_2, \cdots, u_n)$，其中每个分量都是独立的，分布均为$\mathcal{N}(0,1/n)$，那么我们有
\begin{equation}\mathbb{E}\big[e^{\lambda \Vert u\Vert^2}\big] = \mathbb{E}\big[e^{\lambda\sum\limits_i u_i^2}\big] = \mathbb{E}\big[\prod_i e^{\lambda u_i^2}\big]=\prod_i \mathbb{E}\big[ e^{\lambda u_i^2}\big]\end{equation}
而$\mathbb{E}\big[ e^{\lambda u_i^2}\big]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u_i^2/2}e^{\lambda u_i^2/n} du_i=\sqrt{n/(n-2\lambda)}$，所以
\begin{equation}P(\Vert u\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon) \leq \min_{\lambda > 0} e^{-\lambda (\varepsilon + 1)}\left(\frac{n}{n-2\lambda}\right)^{n/2}\end{equation}
右端的极小值在$\lambda = \frac{n\varepsilon}{2(1+\varepsilon)}$取到，推导过程就留给读者了，然后代入得到
\begin{equation}P(\Vert u\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon) \leq e^{n(\log(1+\varepsilon) - \varepsilon)/2}\leq e^{-n\varepsilon^2/8}\end{equation}
其中$\log(1+\varepsilon) - \varepsilon \leq -\varepsilon^2/4$的证明也留给读者了。类似地，我们可以对$1 - \Vert u\Vert^2\geq \varepsilon$的概率进行推导，结果为：
\begin{equation}P(1 - \Vert u\Vert^2\geq \varepsilon) \leq e^{n(\log(1-\varepsilon) + \varepsilon)/2}\leq e^{-n\varepsilon^2/8}\end{equation}
其中可证$\log(1-\varepsilon) + \varepsilon \leq \log(1+\varepsilon) - \varepsilon$，所以上式沿用了$\log(1+\varepsilon) - \varepsilon$的不等关系。现在两式相加，我们得到$P(|\Vert u\Vert^2 - 1| \geq \varepsilon)\leq 2e^{-n\varepsilon^2/8}$。证毕。

从“单位模引理”出发，我们可以证明“正交性引理”：

正交性引理： 设$u,v\in\mathbb{R}^{n}$是独立重复采样自$\mathcal{N}(0,1/n)$的两个向量，$\varepsilon \in (0, 1)$是给定常数，那么我们有 \begin{equation}P(|\langle u, v\rangle| \geq \varepsilon) \leq 4\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\end{equation}

该引理告诉我们，当$n$足够大的时候，$u,v$的内积明显偏离0的概率是非常小的（给定$\varepsilon$后，将以$n$的指数形式递减至0），所以从$\mathcal{N}(0,1/n)$采样出来的两个$n$维向量将会非常接近正交。而结合“单位模引理”，我们就得到“从$\mathcal{N}(0,1/n)$采样出来的$n\times n$矩阵几乎是一个正交矩阵”的结论了。

有了“单位模引理”铺垫，它的证明不算难。我们知道如果$u,v\sim \mathcal{N}(0,1/n)$，那么$\frac{u\pm v}{\sqrt{2}}\sim \mathcal{N}(0,1/n)$，所以根据“单位模引理”的证明，我们有
\begin{equation}P\left(\left\Vert \frac{u+v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon\right) \leq e^{-n\varepsilon^2/8},\quad P\left(1-\left\Vert \frac{u-v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 \geq \varepsilon\right) \leq e^{-n\varepsilon^2/8}\end{equation}
注意$\left\Vert \frac{u+v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon$和$1-\left\Vert \frac{u-v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 \geq \varepsilon$两式相加后可以得出$\langle u, v\rangle\geq \varepsilon$，所以
\begin{equation}P(\langle u, v\rangle\geq \varepsilon) \leq P\left(\left\Vert \frac{u+v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 - 1 \geq \varepsilon\right) + P\left(1-\left\Vert \frac{u-v}{\sqrt{2}}\right\Vert^2 \geq \varepsilon\right) \leq 2e^{-n\varepsilon^2/8}\end{equation}
同理可证$P(-\langle u, v\rangle\geq \varepsilon) \leq 2e^{-n\varepsilon^2/8}$，两者结合就得到“正交性引理”。

证明的过程 #

现在我们就可以着手证明JL引理了，下面是它的数学表述：

数学版JL引理： 给定$N$个向量$v_1,v_2,\cdots,v_N\in\mathbb{R}^m$和$n > \frac{24\log N}{\varepsilon^2}$，而随机矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$独立重复采样自$\mathcal{N}(0,1/n)$，$\varepsilon \in (0, 1)$是给定常数，那么至少有$\frac{N-1}{N}$的概率，使得对于所有的$i\neq j$，都成立 \begin{equation}(1-\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2 \leq \Vert Av_i - A v_j\Vert^2 \leq (1+\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2\label{eq:bound}\end{equation}

引理告诉我们，不管原来的向量维数$m$是多少，只需要$n > \frac{24\log N}{\varepsilon^2}$的维度，我们就可以容纳下$N$个向量，使得它们相对距离的偏离都不超过$\varepsilon$。而且JL引理还告诉我们降维方法：只需要从$\mathcal{N}(0,1/n)$随机采样一个$n\times m$的矩阵$A$，然后变换$v\to Av$就有$\frac{N-1}{N}$的可能性达到目的。真可谓是简单实用了～

证明过程也是“单位模引理”的直接应用。首先，如果$u\in\mathbb{R}^m$是给定的单位向量，而$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$独立重复采样自$\mathcal{N}(0,1/n)$，那么$Au$的每个分量都独立地服从$\mathcal{N}(0,1/n)$。证明也并不难，根据定义每个分量$(Au)_i = \sum\limits_j A_{i,j}u_j$，由于$A_{i,j}$相互独立，所以$(Au)_i$显然相互独立，并且由于$A_{i,j}\sim\mathcal{N}(0,1/n)$，正态随机变量和的分布依然是正态分布，所以$(Au)_i$服从正态分布，其均值为$\sum\limits_j u_j\times 0=0$，其方差则为$\sum\limits_j u_j^2\times \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$。

所以，说白了，$Au$相当于从$\mathcal{N}(0,1/n)$独立重复采样出来的$n$维向量。现在代入$u=\frac{v_i - v_j}{\Vert v_i - v_j\Vert}$，利用“单位模引理”，得到
\begin{equation}P\left(\left|\left\Vert \frac{A(v_i - v_j)}{\Vert v_i - v_j\Vert}\right\Vert^2 - 1\right| \geq \varepsilon\right) \leq 2\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\end{equation}
此结果对于任意$i\neq j$都成立，那么遍历所有的$i\neq j$的组合，我们得到至少有一项$\geq \varepsilon$的概率不超过
\begin{equation}P\left(\exists (i,j):\,\left|\left\Vert \frac{A(v_i - v_j)}{\Vert v_i - v_j\Vert}\right\Vert^2 - 1\right| \geq \varepsilon\right) \leq 2 {N\choose 2} \exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\end{equation}
或者反过来说，对于任意$i\neq j$，都成立$\left|\left\Vert \frac{A(v_i - v_j)}{\Vert v_i - v_j\Vert}\right\Vert^2 - 1\right| \leq \varepsilon$（等价于$\eqref{eq:bound}$）的概率不小于
\begin{equation}1 - 2 {N\choose 2} \exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right) = 1 - N(N-1)\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\end{equation}
代入$n > \frac{24\log N}{\varepsilon^2}$，可以得到
\begin{equation}1 - N(N-1)\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\geq 1 - N(N-1)N^{-3}\geq 1-N^{-1}\end{equation}
至此，证明已经完成。

上面的JL引理中保持的是欧氏距离近似不变，很多时候我们检索用的是内积（比如余弦相似度）而不是欧氏距离。对此，我们有

内积版JL引理： 给定$N$个单位向量$v_1,v_2,\cdots,v_N\in\mathbb{R}^m$和$n > \frac{24\log N}{\varepsilon^2}$，而随机矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$独立重复采样自$\mathcal{N}(0,1/n)$，$\varepsilon \in (0, 1)$是给定常数，那么至少有$\frac{N-2}{N}$的概率，使得对于所有的$i\neq j$，都成立 \begin{equation}\left|\langle Av_i, Av_j\rangle - \langle v_i, v_j\rangle\right|\leq\varepsilon\end{equation}

证明很简单，模仿“正交性引理”的证明即可。根据JL引理的证明，我们可以得到在相同的条件下，至少有$\frac{N-2}{N}$的概率同时满足对于任意$i\neq j$有
\begin{equation}\begin{aligned}
(1-\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2 \leq \Vert Av_i - A v_j\Vert^2 \leq (1+\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2 \\
(1-\varepsilon)\Vert v_i + v_j\Vert^2 \leq \Vert Av_i + A v_j\Vert^2 \leq (1+\varepsilon)\Vert v_i + v_j\Vert^2
\end{aligned}\end{equation}
将第一乘上$-1$得到$-(1+\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2 \leq -\Vert Av_i - A v_j\Vert^2 \leq -(1-\varepsilon)\Vert v_i - v_j\Vert^2$，然后加到第二式得到
\begin{equation}4\langle v_i, v_j\rangle-2\varepsilon(\Vert v_i\Vert^2 + \Vert v_j\Vert)\leq 4\langle Av_i, Av_j\rangle \leq 4\langle v_i, v_j\rangle + 2\varepsilon(\Vert v_i\Vert^2 + \Vert v_j\Vert)\end{equation}
注意到$v_i,v_j$是单位向量，所以上式等价于$\left|\langle Av_i, Av_j\rangle - \langle v_i, v_j\rangle\right|\leq\varepsilon$。

极度的充分 #

动手去推过一次JL引理证明的同学应该能感觉到，JL引理的结论中之所以能够出现$\log N$，本质上是因为“单位模引理”中的概率项$2\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)$是指数衰减的，而我们可以放宽这个衰减速度，让其变成多项式衰减，从而出现了$\log N$。

总的来说，JL引理告诉我们，以误差$\varepsilon$塞下$N$个向量，只需要$\mathcal{O}\left(\frac{\log N}{\varepsilon^2}\right)$维的空间，至于$\frac{\log N}{\varepsilon^2}$前面的常数是多少，其实不大重要。因为事实上JL引理是一个非常充分的条件，实际情况中条件往往更加宽松。比如，在JL引理的证明中如果我们将条件改为$n > \frac{16\log N}{\varepsilon^2}$，那么式$\eqref{eq:bound}$成立的概率就不小于
\begin{equation}1 - N(N-1)\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{8}\right)\geq 1 - N(N-1)N^{-2}=1/N\end{equation}
注意$1/N$虽然小，但终究是大于0的，所以此时依然是存在$A$使得$\eqref{eq:bound}$成立，只不过寻找$A$的成本更大罢了（每次命中的概率只有$1/N$），而如果我们只关心存在性，那么这也够了。

而且，JL引理只考虑了在随机线性投影下的降维，就已经得到$n > \frac{16\log N}{\varepsilon^2}$了，如果是其他更精细的降维，比如基于SVD的降维，是有可能得到更好的结果的（前面的系数更小）；如果非线性的降维方法也考虑进去，那么结果又能变得更优了。所以说，不需要太关心$\frac{\log N}{\varepsilon^2}$前面的常数是多少，我们只需要知道$\mathcal{O}\left(\frac{\log N}{\varepsilon^2}\right)$的量级，如果真要用到它，通常还需要根据实际情况确定前面的常数，而不是调用理论结果。

且待下回续 #

在这篇文章中，我们介绍了Johnson–Lindenstrauss引理（JL引理），它是关于降维的一个重要而奇妙的结论，是高维空间的不同寻常之处的重要体现之一。它告诉我们“只需要$\mathcal{O}(\log N)$维空间就可以塞下$N$个向量”，使得原本高维空间中的检索问题可以降低到$\mathcal{O}(\log N)$维空间中。

本文主要讨论了JL引理的相关理论证明细节，下一篇文章我们则尝试应用它来理解一些机器学习问题，敬请期待～

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/8679

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

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