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大家知道,1到4次的代数方程都有求根公式(尽管未必是最简单的方法),对于1次和2次方程的求根,大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗?
$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$

网上有不少关于这方面的资料,但是却有着两个缺点:一是缺乏描述专业数学公式的相关程序(很多网站都是这样);二是语言过于专业,不能大众化(如维基百科)。

要了解三次方程的求根公式,首先要知道,一般地,n次代数方程有n个根。而对于最基本的三次方程$x^3+p=0$,我们有:
$$x_1=-\sqrt[3]{p}$$
同时根据韦达定理,我们有$x_1+x_2+x_3=0,x_1\cdot x_2\cdot x_3=-p$,我们已经知道$x_1=-\sqrt[3]{p}$,现在就变成了关于$x_2,x_3$的二次方程组,可以求解($i^2=-1$,虚数单位):
$$x_2=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}, \quad x_3=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}$$
特别地,一般会将$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$写成$\omega$,于是
$$x_2=\sqrt[3]{p} \omega,\quad x_3=\sqrt[3]{p}\omega ^2$$

图片说明:塔塔利亚

图片说明:塔塔利亚

下面进入一般的三次方程的求解:

对于一道三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$,我们有可以用换元法,设$y=x+\frac{b}{3a}$,将原方程变为关于y的三次方程:
$$y^3+py+q=0 \Leftrightarrow y^3+py=-q$$
其中
$$\begin{aligned}&y=x+\frac{b}{3a}\\
&p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\\
&q=\frac{2{b^3}}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\end{aligned}$$

(卡丹的证明)由于$(A-B)^3+3AB(A-B)=A^{3}-B^{3}$,所以$3AB=p,A^{3}-B^{3}=-q,y=A-B$,于是变成关于$A,B$的六次方程组,而这一道六次方程组很简单,通过换元法,就变成了一道二次方程组,可以求解。最后我们得到的结果为:
$$\begin{aligned}&A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},
&B=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\end{aligned}$$

接下来就很容易得出原方程的解了。

图片说明:卡丹,又译卡尔达诺

图片说明:卡丹,又译卡尔达诺

最终,我们得出关于方程$y^3+px+q=0$的求根公式为
$$\begin{aligned}&x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_3=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\end{aligned}$$

看到这里,如果想挑战自己的你,请写出$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$的一般求根公式吧^_^

至于四次方程,有时间也会写一下。

参考资料:
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B&variant=zh-cn
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
http://baike.baidu.com/view/1315076.htm
http://www.oursci.org/archive/magazine/200112/011208.htm

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