首先我们考虑下级数
$$S=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(1/i)=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^{n+1}(1/n)$$
当$n->\infty$的敛散性。

首先由于$\lim_{n->\infty}(-1)^{n+1}(1/n)=0$，所以如果S发散，必定$S->\infty$.

我们不妨假设这个级数发散，于是

(一)
$$S=(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/{2n}-1/{2n+1})$$
由于每一个括号内都为正，所以S应该趋向$+\infty$.

(二)
$$S=1+(-1/2+1/3)+(-1/4+1/5)+...+(-1/{2n}+1/{2n+1})+1/{2n+2}$$
由于每一个括号内都为负，而且$\lim_{n->\infty}(1+1/{2n+2})=1$，所以所以S应该趋向$-\infty$.

但S不可能同时趋于$+-\infty$，所以原假设错误。S收敛。

由此可以推出一个级数的审敛法则：

定义级数$\sum_{i=1}^{n}=(-1)^{i}a_i$或$\sum_{i=1}^n=(-1)^{i+1}a_i$为交错级数。

如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}=(-1)^{i}a_i$满足：

1. $\lim_{n->\infty} a_n=0$
2. $a_i>= a_{i+1} $

则该级数收敛！证明过程同上例。

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苏剑林. (Oct. 06, 2009). 《关于交错级数的审敛法则 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/159

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        title={关于交错级数的审敛法则},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Oct},
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}