从对称角度看代数方程

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

BoJone本想着顺水推舟，把这个方法推到三次方程来应用的，可惜数学水平有限，不能完成这个任务。不过在已知三次方程求根公式的前提下，可以把这个方法推广到四次方程。任意四次方程都可以表示成

$$\begin{aligned}x_1+x_2+x_3+x_4=a \\ x_1 x_2+x_1 x_3+x_1 x_4+x_2 x_3+x_2 x_4+x_3 x_4=b \\ x_1 x_2 x_3+x_1 x_2 x_4+x_1 x_3 x_4+x_2 x_3 x_4=c \\ x_1 x_2 x_3 x_4=d\end{aligned}$$

设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2,x_3=y_3+y_4,x_4=y_3-y_4$，方程组变成了
$$\begin{aligned}2(y_1+y_3)=a \\ (y_1^2-y_2^2)+(y_3^2-y_4^2)+4x_1 x_3=b \\ 2(y_1^2-y_2^2)y_3+2(y_3^2-y_4^2)y_1=c \\ (y_1^2-y_2^2)(y_3^2-y_4^2)=d\end{aligned}$$

如果令$z_1=y_1^2-y_1^2,z_3=y_3^2-y_4^2$，那么又出现了一个对称的方程组
$$\begin{aligned}2(y_1+y_3)=a \\ z_1+z_3+4y_1 y_3=b \\ 2z_1 y_3+2z_3 y_1=c \\ z_1 z_3=d\end{aligned}$$

继续用类似的代换$y_1=w_1+w_2,y_3=w_1-w_2,z_1=w_3+w_4,z_3=w_3-w_4$，得到
$$\begin{aligned}4w_1=a \\ 2w_3+4(w_1^2-w_2^2)=b \\ 4(w_1 w_3-w_2 w_4)=c \\ w_3^2-w_4^2=d\end{aligned}$$

到此，对称性基本体现不出来了，我们尝试用常规的方法（代入消元）求解。由于$w_1$可以直接求出，即是已知量。将第二个式子乘上$2w_1$再减去第三个式子得到
$$\begin{aligned}8w_1 (w_1^2-w_2^2)+4w_2 w_4=2w_1 b-c \\ w_4=\frac{2w_1 b-c-8w_1^3}{4w_2}+2w_1 w_2\end{aligned}$$

同时根据第二个式子就有$w_3=\frac{b}{2}-2(w_1^2-w_2^2)$

将$w_3,w_4$代入$w_3^2-w_4^2=d$就可以得到一个关于$w_2^2$的三次方程，可以求解。完毕！

总结

其实，对称是一个非常深远的话题，它的无处不在和应用之广，都深深震撼着我们。即便在日常生活的审美中，我们也都会倾向于选择具有对称性的物体。同样，在数学、物理、化学等研究中，向“对称”转化一般都能够给我们带来方便，在不断地进行对称变换中，问题也逐渐被化简了。所以，掌握研究对称的方法就显得十分重要了。当然，严格来讲上述例子根本就不能算是什么对称分析，只是BoJone在研究时候的一些随手感想而已。当前最有力的工具还数群论，在阅读《微分方程与数学物理问题》一书时，作者讲到李群分析是求解微分方程的最有效方法，这大大激起了我对群论的兴趣，同时在《理论力学》的学习过程中，也发现到了群论的应用之广。因此，BoJone深深地明白，该要去入门群论了......

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