线圈感抗和电容容抗的计算

学到人教版高二物理选修3-2的同学们，眼前会出现许多新的名词，如楞次定律、自感（电感）、感抗、容抗等等。其中对于电感，在中文维基百科给予的解释为：当电流改变时，因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势（EMF，electromotive force）。电路中的任何电流，会产生磁场，磁场的磁通量又作用于电路上。依据楞次定律，此磁通会借由感应出的电压（反电动势）而倾向于抵抗电流的改变。磁通改变量对电流改变量的比值称为自感，自感通常也就直接称作是这个电路的电感。

自感的计算公式为：$U=-L\frac{dI}{dt}$，U是自感电动势，I是电流，负号表示自感电动势反抗原来的电流。L是比例系数，就称为电感，对于同一个线圈来说，L是常数，单位是$V\cdot t//A=\Omega \cdot t$，同时也简记为$H$（亨利）。

感抗

简单介绍后，进入正题了。我们知道，自感线圈可以“通直流，阻交流”，而电容器相反，可以“通交流，阻直流”。其原理就不多说了，本文主要是证明其感抗和容抗的计算公式。先说感抗，由于交流电的电动势和电流在不断变化，而且周期很小，所以通常用一些“平均值”来进行相关计算，以代替不断变化的量，如有效电压（电流）就是在一个周期内的电压（电流）平方的平均值的平方根。感抗也由此而生，虽然自感线圈是“阻交流”的，但是在一个周期内不同时刻的“阻碍情况”一般不同，因此我们需要计算一个“平均的阻碍情况”，也就是说，把这个自感线圈接入交流电路，相当于在电路中接入了一个多大的电阻。

求一个函数的平均值一般有两种方法，一种是对自变量求平均，再代入函数式求值；一种是直接对函数值求平均。感抗和容抗使用的是前者的方法（在理解本文后，不妨思考一下为什么只能够选择前者而不选择后者），换言之，是$\bar{R}=\frac{\bar{U}}{\bar{I}}$而不是$\bar{R}=\bar{(\frac{U}{I})}$。

而且，设交流电周期为T，有
$$\begin{aligned}\bar{U}=\int_0^T \frac{|U|dt}{T}=L\int_0^T \frac{|dI|}{T} \\ \bar{I}=\int_0^T \frac{|I| dt}{T}\end{aligned}$$

接着再设交流电为正弦式交流电，$I=I_m sin(2\pi f t)$，频率为$f=\frac{1}{T}$，代入上式计算，由于正弦函数的对称性，我们只需要考虑四分之一周期即可，这样就可以把绝对值符号干掉。即
$$\begin{aligned}\bar{U}=L\int_0^{T//4} \frac{d(I_m \sin(2\pi f t))}{T//4}=4I_m L f \\ \bar{I}=\int_0^{T//4} \frac{I_m \sin(2\pi f t) dt}{T//4}=\frac{4I_m}{2\pi}\end{aligned}$$

于是感抗$X_L=\bar{R}=4I_m L f\div \frac{4I_m}{2\pi}=2\pi f L$

容抗

容抗和感抗的计算有相当多的相似之处。我们知道电容的定义是$C=\frac{Q}{U}$。C是常数，于是我们可以写出
$$C=\frac{dQ}{dU}=\frac{dQ}{dt}\frac{dt}{dU}$$

其中$\frac{dQ}{dt}$即是电流I，于是$I=C\frac{dU}{dt}$。这和自感的计算公式几乎是同出一辙！类似感抗的计算，很快可以写出
$$\begin{aligned}\bar{I}=\int_0^T \frac{|I|dt}{T}=L\int_0^T \frac{|dU|}{T} \\ \bar{U}=\int_0^T \frac{|U| dt}{T}\end{aligned}$$

同样对正弦交流电考虑四分之一周期，则有（这里直接把结果贴出）
$$\begin{aligned}\bar{I}=4CU_m f \\ \bar{U}=\frac{4U_m}{2\pi}\end{aligned}$$
容抗$X_C=\frac{\bar{U}}{\bar{I}}=\frac{1}{2\pi f C}$

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