熵的概念

作为一名物理爱好者,我一直对统计力学中“熵”这个概念感到神秘和好奇。因此,当我接触数据科学的时候,我也对最大熵模型产生了浓厚的兴趣。

熵是什么?在通俗的介绍中,熵一般有两种解释:(1)熵是不确定性的度量;(2)熵是信息的度量。看上去说的不是一回事,其实它们说的就是同一个意思。首先,熵是不确定性的度量,它衡量着我们对某个事物的“无知程度”。熵为什么又是信息的度量呢?既然熵代表了我们对事物的无知,那么当我们从“无知”到“完全认识”这个过程中,就会获得一定的信息量,我们开始越无知,那么到达“完全认识”时,获得的信息量就越大,因此,作为不确定性的度量的熵,也可以看作是信息的度量,说准确点,是我们能从中获得的最大的信息量。

如何去衡量不确定性?也就是说,如何计算熵?要回答这个问题,我们可以想到,我们是用概率来描述不确定性的,我们可以给出系统出现某种状态的概率(或者概率密度,这里不作区分),只要概率不为1,就意味着出现不确定性。因此,熵必定与概率分布有关。具体怎么计算熵呢?本来,按照一般教科书或者科普的做法,是直接给出熵的公式,而这里,笔者尝试从两个角度给出熵的公式的来源,企图让读者了解其来龙去脉。

熵的基本计算公式为
$$S=-\sum_x p(x)\log p(x)\tag{1}$$
这里的$\log$可以是自然对数,也可以是以2为底的对数,事实上,任意大于1的底都是成立的,因为换底只不过相当于换了信息的单位。$p(x)$是量$X$取值为$x$的概率。对于连续的概率分布,熵类似地定义为(把求和换成积分)
$$S=-\int p(x)\log p(x) dx\tag{2}$$
$p(x)$是$X$的概率密度函数。

请留意,$(1)$式和$(2)$式的几个特征是:对数$\log$、求和$\sum_x$以及前面的负号,下面将着重解释这几个特征,从两个方面,一个是比较通俗的,一个是比较抽象的(数学化的)。

通俗的角度

从下面的例子出发

世界杯结束后,大家都很关心谁会是冠军。假如我错过了看世界杯,赛后我问一个知道比赛结果的观众“哪支球队是冠军”?他不愿意直接告诉我,而要让我猜,并且我每猜一次,他要收一元钱才肯告诉我是否猜对了,那么我需要付给他多少钱才能知道谁是冠军呢?我可以把球队编上号,从1到32,然后提问:“冠军的球队在1-16号中吗?”假如他告诉我猜对了,我会接着问:“冠军在1-8号中吗?”假如他告诉我猜错了,我自然知道冠军队在9-16中。这样只需要5次,我就能知道哪支球队是冠军。所以,谁是世界杯冠军这条消息的信息量只值5块钱。

以上例子引自吴军老师的著作《数学之美》中的“谈谈最大熵模型”这一章。以上例子成立的前提是:“我”对足球一无所知——“我”既没有研究足球,也没有听说过任何关于足球的消息。在这种情况下,我只能靠猜,最朴素的方法就是一支支队伍地猜:是中国吗?是巴西吗?是日本吗?...这样我们有可能问到第31个问题才得到最终结果。显然,这不是最高效率的方法。在例子中,我们先对球队编号(在数据处理时,我们称之为建立“索引”),然后用二分法查找,效率是$\mathscr{O}(\log_2 N)$。

这给我们两个启示:一是建立索引,并通过二分法,能够大大加快查找的速度,不过这跟本文没多大关系;第二就是$\log_2 N$,对数出现了!它可以改写为
$$\log_2 N=-\log_2 \frac{1}{N}=-\sum_{N\text{支队伍}}\frac{1}{N}\log_2 \frac{1}{N}$$
这正好是$(1)$式的形式,这里因为我们对足球一无所知,所以每支队伍得冠军的概率都是一样的,也就是$p=1/N$。

可能读者觉得这个例子太特殊,结果没什么代表性。确实,这只不过是一个感性的认知。从更抽象的、更精准的数学角度来理解也是可以的,这时候,我们的思路是反过来的。

抽象的角度

首先,我们希望构造出一个公式来表示信息量,或者等价地,不确定的程度,叫做“熵”(注意,这里是我们希望根据我们所想的用途去构造一个量,而不是我们已经得到了这个量,然后才证明它有这样的用途。这里边的逻辑刚好是反过来的,是我们需要什么,我们就去构造什么。)。既然“熵”用来表示信息量,那么它应该具有下面的简单的性质:

1、它是概率分布$p(x)$的函数,为了研究的方便,我们还希望它是一个光滑函数;
2、它具有可加性,这意味着熵具有形式
$$S[p(x)]=\sum_{x}f(p(x))\tag{3}$$

现在的问题是,$f()$的具体形式是什么,我们需要一些额外的信息来确定它,比如,假如$X,Y$是两个独立的随机变量,它们的概率分布分别是$p(x)$和$p(y)$,那么$X,Y$的联合概率是$p(x)p(y)$。因为两个随机变量是独立的,那么它们的联合分布$p(x)p(y)$和单独的两个分布$p(x),p(y)$,所具有的信息量是等价的(从联合密度分布可以算得单个的密度分布,从单个的密度分布,可以算得联合密度分布),也就是

3、当$X,Y$是独立随机变量时,有
$$S[p(x)p(y)]=S[p(x)]+S[p(y)]\tag{4}$$

事实上,1、2、3三个约束,就可以确定熵的表达式。为了从$(4)$式确定$f()$的形式,我们只需要从最简单的二元分布出发,假设$X,Y$都是二元随机变量,$X$的概率分布为$p,1-p$,$Y$的概率分布为$q,1-q$,那么联合分布为$pq,p(1-q),(1-p)q,(1-p)(1-q)$,根据$(4)$式,就有
$$\begin{aligned}&f(pq)+f(p(1-q))+f((1-p)q)+f((1-p)(1-q))\\
=&f(p)+f(1-p)+f(q)+f(1-q)\end{aligned}\tag{5}$$
这是关于$f()$的一个函数方程,只要加上适当的合理的限制,那么它就具有唯一解。这里我们尝试求解它,但不去证明解的唯一性。求解的过程是试探性的,我们发现,左边是自变量的积的形式,如$pq$,右边是单个的自变量的形式,如$p$,回想数学中的概念,我们可以想起来,能够把乘积变为求和的运算是取对数,所以我们不妨设$f(x)=h(x)\ln x$,得到
$$\begin{aligned}&h(p)\ln p+h(1-p) \ln (1-p)+h(q)\ln q+h(1-q)\ln (1-q)\\
=&h(pq)\ln p+h(pq)\ln q \\
&+ h(p(1-q))\ln p + h(p(1-q))\ln(1-q)\\
&+h((1-p)q)\ln(1-p)+h((1-p)q)\ln q \\
&+ h((1-p)(1-q))\ln(1-p)+h((1-p)(1-q))\ln(1-q)\end{aligned}\tag{6}$$
很长很乱很晕?不要紧,快到终点了。我们把相同对数的项合并起来,比如$\ln p$项,是
$$[h(p)-h(pq)-h(p(1-q))]\ln p\tag{7}$$
剩余三项也类似。我们发现,如果$h()$取线性函数,那么上式刚好是0,剩余三项也是0,等式自动满足!所以,我们就找到了一个解:
$$f(x)=\alpha x\ln x\tag{8}$$
所以我们有了熵的表达式:
$$S=\sum_{x}\alpha p(x)\ln p(x)\tag{9}$$

最后,还要确定$\alpha$,当然,$\alpha$本身的值不重要,它只不过是信息的单位而已,但是$\alpha$的符号是很重要的。我们要求熵有下面的性质:

4、信息量越大,熵越大。

第4点是为了符合我们的习惯而已,如果你喜欢,你也可以定义“信息量越大,熵越小”。既然这样定义,我们就知道,确定性事件的熵肯定比不确定的事件的熵要大,确定性事件的概率分布也就是恒等于1,对应的熵是0,而不确定性事件,我们还是取二元分布,概率分布为$p,1-p$,那么必然有
$$\alpha p\ln p + \alpha (1-p)\ln (1-p) > 0\tag{10}$$
因此只有$\alpha < 0$。

多扯一点

现在我们已经得到了熵的表达式,到这里我们已经走得比较远了,读者不一定都需要它们。笔者只是想把自己对熵的来龙去脉的认识分享给大家,对于关心熵的应用,不是太关心熵的来源的读者,可以忽略这部分内容,而对于希望从更多角度来深入认识熵的朋友,我觉得这部分内容是比较有意义的参考。

再次强调,本文是通过约束1、2、3、4来确定熵的表达式的,1、2、3、4是熵的性质,是由这些性质来确定熵的表达式。而一般的教程往往是反过来,首先给出熵的表达式,然后去推导1、2、3、4等性质。事实上,这有本末倒置之嫌。

根据以上讨论,我们已经发现,熵已经不再是物理概念的抽象,而已经是一个完全独立的对象。熵来源于物理,但基本上已经脱胎于物理,成为了一个能够贯穿信息、物理、生物等领域的强大工具。事实上,作为物理方面的应用,我们可以反过来,从后面要谈到的最大熵原理出发,建立起物理定律,这时候,熵不仅不是衍生物,还成为了物理定律的来源。

熵的“衍生物”

有了熵的定义式$(1)$和$(2)$,我们就可以得到一些“衍生品”了,比如“联合熵”
$$S[p(x,y)]=-\sum_{x}\sum_{y} p(x,y)\ln p(x,y)\tag{11}$$
这是一元熵的等价推广罢了。

为了后面要讲到的最大熵模型,需要引入一个条件熵,它跟条件分布$p(y|x)$有关。但是我觉得,很多教程都写得化简为繁了,让人云里雾里的,比如,有些教程直接将条件熵定义为
$$S(Y|X)=\sum_x p(x)S(Y|X=x)=-\sum_x p(x)\sum_y p(y|x)\log p(y|x)\tag{12}$$
也有直接定义为
$$S(Y|X)=-\sum_x\sum_y p(x,y)\log p(y|x)\tag{13}$$
这两个式子都是等价的,当然也都是正确的。但是我真想问,这是哪门子的定义?读者的第一反应可能就是:凭什么这样定义?你想怎么定义就怎么定义呀,你在耍我吗?

我真搞不懂,为什么最直接、最容易理解的定义不给出来呢?我们已经知道,条件分布就是在联合分布$p(x,y)$的基础上,已经知道$p(x)$的分布,求$X$确定时,$Y$的分布情况。那么条件熵自然是在联合熵的基础上,再引入$X$的熵,所剩下的熵值:
$$S(Y|X)=S[p(x,y)]-S[p(x)]\tag{14}$$
说白了,条件熵就是说本来不确定性有$S[p(x,y)]$这么多,然后$p(x)$能带来量为$S[p(x)]$的信息,减少掉一定的不确定性,剩下的不确定性,就是条件熵。不难证明这个$(14)$式跟$(12),(13)$式都等价,但是显然,$(14)$式才具有明显的意义。


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