The Three Body Problem and its Classical Integration

$M_1\ddot{\vec{r_1}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_2}-\vec{r_1})}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3}+\frac{GM_1 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_1})}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3}$————(23)
$M_2\ddot{\vec{r_2}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_1}-\vec{r_2})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_2})}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3}$————(24)
$M_3\ddot{\vec{r_3}}=\frac{GM_1 M_3(\vec{r_1}-\vec{r_3})}{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_2}-\vec{r_3})}{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3}$————(25)

$M_1 \ddot{\vec{r_1}}+M_2 \ddot{\vec{r_2}}+M_3 \ddot{\vec{r_3}}=0$

$M_1\vec{r_1}\times \ddot{\vec{r_1}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_1}\times \vec{r_2})}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3}+\frac{GM_1 M_3(\vec{r_1}\times \vec{r_3})}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3}$
$M_2\vec{r_2}\times \ddot{\vec{r_2}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_2}\times \vec{r_1})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_2}\times \vec{r_3})}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3}$
$M_3\vec{r_3}\times \ddot{\vec{r_3}}=\frac{GM_1 M_3(\vec{r_3}\times \vec{r_1})}{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_3}\times \vec{r_2})}{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3}$

$M_1\vec{r_1}\times \ddot{\vec{r_1}}+M_2\vec{r_2}\times \ddot{\vec{r_2}}+M_3\vec{r_3}\times \ddot{\vec{r_3}}=0$

\$M_1\vec{r_1}\times \dot{\vec{r_1}}+M_2\vec{r_2}\times \dot{\vec{r_2}}+M_3\ve