科学空间|Scientific Spaces

在前三篇文章中，我们较为详细地讨论了HiPPO和S4的大部分数学细节。那么，对于接下来的第四篇文章，大家预期我们会讨论什么工作呢？S5、Mamba乃至Mamba2？都不是。本系列文章主要关心SSM的数学基础，旨在了解SSM的同时也补充自己的数学能力。而在上一篇文章我们简单提过S5和Mamba，S5是S4的简化版，相比S4基本上没有引入新的数学技巧，而Mamba系列虽然表现优异，但它已经将$A$简化为对角矩阵，所用到的数学技巧就更少了，它更多的是体现了工程方面的能力。

这篇文章我们来学习一篇暂时还声名不显的新工作《State-Free Inference of State-Space Models: The Transfer Function Approach》（简称RFT），它提出了一个新方案，将SSM的训练、推理乃至参数化，都彻底转到了生成函数空间中，为SSM的理解和应用开辟了新的视角

基础回顾

首先我们简单回顾一下上一篇文章关于S4的探讨结果。S4基于如下线性RNN
\begin{equation}\begin{aligned}
x_{k+1} =&\, \bar{A} x_k + \bar{B} u_k \\
y_{k+1} =&\, \bar{C}^* x_{k+1} \\
\end{aligned}\label{eq:linear}\end{equation}

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前面我们用两篇文章《重温SSM（一）：线性系统和HiPPO矩阵》和《重温SSM（二）：HiPPO的一些遗留问题》介绍了HiPPO的思想和推导——通过正交函数基对持续更新的函数进行实时逼近，其拟合系数的动力学正好可以表示为一个线性ODE系统，并且对于特定的基底以及逼近方式，我们可以将线性系统的关键矩阵精确地算出来。此外，我们还讨论了HiPPO的离散化和相关性质等问题，这些内容奠定了后续的SSM工作的理论基础。

接下来，我们将介绍HiPPO的后续应用篇《Efficiently Modeling Long Sequences with Structured State Spaces》（简称S4），它利用HiPPO的推导结果作为序列建模的基本工具，并从新的视角探讨了高效的计算和训练方式，最后在不少长序列建模任务上验证了它的有效性，可谓SSM乃至RNN复兴的代表作之一。

基本框架

S4使用的序列建模框架，是如下的线性ODE系统：
\begin{equation}\begin{aligned}
x'(t) =&\, A x(t) + B u(t) \\
y(t) =&\, C^* x(t) + D u(t)
\end{aligned}\end{equation}

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书接上文，在上一篇文章《重温SSM（一）：线性系统和HiPPO矩阵》中，我们详细讨论了HiPPO逼近框架其HiPPO矩阵的推导，其原理是通过正交函数基来动态地逼近一个实时更新的函数，其投影系数的动力学正好是一个线性系统，而如果以正交多项式为基，那么线性系统的核心矩阵我们可以解析地求解出来，该矩阵就称为HiPPO矩阵。

当然，上一篇文章侧重于HiPPO矩阵的推导，并没有对它的性质做进一步分析，此外诸如“如何离散化以应用于实际数据”、“除了多项式基外其他基是否也可以解析求解”等问题也没有详细讨论到。接下来我们将补充探讨相关问题。

离散格式

假设读者已经阅读并理解上一篇文章的内容，那么这里我们就不再进行过多的铺垫。在上一篇文章中，我们推导出了两类线性ODE系统，分别是：
\begin{align}
&\text{HiPPO-LegT:}\quad x'(t) = Ax(t) + Bu(t) \label{eq:legt-ode}\\[5pt]
&\text{HiPPO-LegS:}\quad x'(t) = \frac{A}{t}x(t) + \frac{B}{t}u(t) \label{eq:legs-ode}\end{align}
其中$A,B$是与时间$t$无关的常数矩阵，HiPPO矩阵主要指矩阵$A$。在这一节中，我们讨论这两个ODE的离散化。

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前几天，笔者看了几篇介绍SSM（State Space Model）的文章，才发现原来自己从未认真了解过SSM，于是打算认真去学习一下SSM的相关内容，顺便开了这个新坑，记录一下学习所得。

SSM的概念由来已久，但这里我们特指深度学习中的SSM，一般认为其开篇之作是2021年的S4，不算太老，而SSM最新最火的变体大概是去年的Mamba。当然，当我们谈到SSM时，也可能泛指一切线性RNN模型，这样RWKV、RetNet还有此前我们在《Google新作试图“复活”RNN：RNN能否再次辉煌？》介绍过的LRU都可以归入此类。不少SSM变体致力于成为Transformer的竞争者，尽管笔者并不认为有完全替代的可能性，但SSM本身优雅的数学性质也值得学习一番。

尽管我们说SSM起源于S4，但在S4之前，SSM有一篇非常强大的奠基之作《HiPPO: Recurrent Memory with Optimal Polynomial Projections》（简称HiPPO），所以本文从HiPPO开始说起。

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