科学空间|Scientific Spaces

大马国油双峰塔

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

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通常来说，选取惯性系为参考系，列出的三体问题方程为
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$$

历史上出现过很多不同形式的变换，使得三体问题的运动方程有了各样的形式，如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点，都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时，也发现了一种很有趣的变换，在此贴出与大家分享。

设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$，则三体问题的运动方程变为

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The Three Body Problem and its Classical Integration

很多天文爱好者都已经接触到了“二体问题”（我们在高中学习到的“开普勒三定律”就是内容之一），由于在太阳系中行星质量相对较小而且距离相对较远，应用“二体问题”的解对天体进行计算、预报等能够满足一定的近似需求。不过，如果需要更高精度的计算，就不能把其他行星的引力给忽略掉了，于是就产生了所谓N体问题（N-Body Problem），即N个质点尽在它们各自引力的相互作用下的运动规律问题。最简单的二体已经被彻底解决，而三体或更多体的问题则与二体大相径庭，因为庞加莱证明了，三体问题不能严格求解，而且这是一个混沌系统，任何微小的扰动都会造成不可预期的效果。

根据牛顿力学，选择惯性参考系，设三个质点分别为$M_1,M_2,M_3$，向径分别为$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$，可以列出运动方程（以下的导数都默认是对时间t求导）

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本创意装置来自牧夫天文论坛的zhangyf1997同好。

三连杆装置——“鱼”

结构：
1、A、B为两定点，可看作有刚性杆连接；
2、AC为动力杆，绕点A转动；
3、BD为从动杆，CD为连杆。

长度数据：
1、CD=AB=$\sqrt{2}$；
2、AC=BD=1。
3、E是CD中点

求：E点的轨迹方程（即图中黑色那条，很有趣吧？）

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The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3，并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了，所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义，我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点：位于拉格朗日点的天体，它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。（这里为了方便，采用了地日系的拉格朗日点来描述，对于一般的三体问题是一样的）

对于L4,L5来说，我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径（如$\vec{R}$）。当我们这样做后，很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现：已知两个向量的夹角和其中一个向量，我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点，就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系，就无法联立方程求解。难道，我们这一条路走到尽头了吗？一开始BoJone也冥思苦想不得头绪，但是...

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The New Calculation Of Lagrangian Point 1,2,3

L2_rendering

关于n体问题，选择质心或其他定点为参考点，我们可以列出下面的运动方程：
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}\tag{19}$$
现在我们只考虑三体问题。天文学家一直希望能够找到三体问题的简洁解，可是很遗憾，庞加莱已经证明了三体问题的解是混沌的，也就是说任何微小的扰动都有可能造成不可预料的后果（可以形象的比喻为：巴西的一只蝴蝶翅膀的扇动，有可能因此美国的一场龙卷风）。

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三次方程求根器-界面

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对于解方程，代数学家希望能够从理论上证明解的存在性以及解的求法，所以就有了1到4次方程的求根公式、5次及以上的代数方程没有根式可解等重要理论；然而，通常的学者（如物理学家、天文学家）都不需要这些内容，他们只关心如何尽可能快地求出指定方程的根（尤其是实数根），所以他们通常关注的是方程的数值算法，当然，如果能有一个相对简单的求根公式，也是他们所希望的。而接下来所要介绍的内容，则是满足了这一需要的三次方程的求根公式，其中用到的相当一部分的理论，是与三角函数相关的。

储备

\begin{equation}\frac{2}{\tan 2A}=\frac{1}{\tan A}-\tan A\end{equation}
\begin{equation}\frac{2}{\sin 2A}=\frac{1}{\tan A}+\tan A\end{equation}
\begin{equation}\cos(3A)=4\cos^3 A-3\cos A\end{equation}

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