科学空间|Scientific Spaces

对于很多读者来说，生成扩散模型可能是他们遇到的第一个能够将如此多的数学工具用到深度学习上的模型。在这个系列文章中，我们已经展示了扩散模型与数学分析、概率统计、常微分方程、随机微分方程乃至偏微分方程等内容的深刻联系，可以说，即便是做数学物理方程的纯理论研究的同学，大概率也可以在扩散模型中找到自己的用武之地。

在这篇文章中，我们再介绍一个同样与数学物理有深刻联系的扩散模型——由“万有引力定律”启发的ODE式扩散模型，出自论文《Poisson Flow Generative Models》（简称PFGM），它给出了一个构建ODE式扩散模型的全新视角。

万有引力

中学时期我们就学过万有引力定律，大概的描述方式是：

两个质点彼此之间相互吸引的作用力，是与它们的质量乘积成正比，并与它们之间的距离成平方反比。

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在上一篇文章中，我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾，提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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我们通常用一个波动方程来描述弦的振动，但是，弦的振动是二维的，也就是说，它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧，胡克系数为$k$，它的松弛状态是均匀的，线密度是$\rho$，长度是$l$，质量是$m$。

如何弹？
我们要分析这根弹簧的运动，即给定弹簧的初始状态，看弹簧的密度如何变化，这种情况类似于“横波”。但是，弹簧本身是连续介质，这是我们不熟悉的，但是我们可以将它离散化，将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

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半个多月没有写文章了，一是因为接近期末考了，比较忙，当然最主要的原因还是人变懒了，呵呵，别人是忙里偷闲，我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了，接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的，这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本，是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样，我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下，在经典力学中，一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

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上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性，这次让我们再次谈到这个话题，企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间，我一直在找资料，主要是线性引力的资料，并且发现了很多有趣的东西，在此一并与大家分享一下。首先，当我在Google中输入“线性引力”时，我发现了一本“奇书”，一本名副其实的“巨著”——《引力论》！洋洋1300多页的大作，三位“超级巨星”——C.W.麦思纳（Charles W.Misner）、K.S.索恩（Kip S.Thorne）、J.A.惠勒（John Archibald Wheeler）——联合编写，恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation，中文是由台湾翻译的，繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况，更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证！最最重要的，作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人，我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里，我就迫不及待地想买了，由于各种原因，我们很难买到，到图书馆找，发现有英文版的，就马上借过来了，另外因为买不到中文版，我只好到网上买了电子版，然后打印出来了。不过不是很清晰，而且自我感觉中文翻译不是很好（当然，已经够我们阅读了）。

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迈克尔·法拉第肖像画

这段时间我接触的物理学都是场论，从各种方面为广义相对论奠基。自我感觉，我的数学基础还算可以的，但是物理“底蕴”就不够了，通常是能够把物理理论的数学描述看懂，但是对每一步的物理基础和来源却不甚了解，真是“数学有余而物理不足”呀。陶醉在场论的海洋一段时间之后，对场论也有了个大概的印象。但是有一个最基础的问题，直到今天我才算是得到了比较满意的解答——为什么要引入场？

在传统的牛顿力学中并没有“场”这一概念，比如天体力学我们只需要考虑天体之间的相互作用力就可以完美解决很多问题，根本不需要场。估计广大读者首次接触到“场”的概念是在高中学习电学的时候，那时教科书给我们带来了电场、场线等诸多诡异的概念。事实上就是如此，可以这样说，历史上“场”是为了电磁学而诞生的——法拉第首次引入的场线具有独特的魅力。

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本博客的文章其实一定程度上反映了我在该时期的学习研究，所以我觉得写blog是一件很惬意的事情，它记录着我的成长历程。读者可能留意到，我上学期说对量子力学很感兴趣，也算是入了一点点门。这学期开学初表示对摄动理论方面的知识很感兴趣，也研究了一两个星期。再后来就将学习重点放在了相对论上面了。现在呢？我在学习朗道的《场论》，主要先学习电磁场（电动力学）。

有的读者可能比较无语：你怎么变来变去，学习不是贵在精而不在多吗？

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