科学空间|Scientific Spaces

=====大学学习=====

上大学已经一个多月了，除去军训的两周和国庆放假的一周，到现在已经是第三周上课了。我是数学专业的，由于是那个勷勤创新班，它希望我们都向研究型数学的方向发展，所以给我们“更多的自由研究时间”，所以课程比一般的班还少一点。由于高中已经对高等数学有个大概的了解，所以一开始让很多同学都喊苦的数学分析、解析几何于我而言都还是比较容易接受的。但从另外一个角度上来讲，我感觉我学得快的原因，倒不全是以前的积累，而是因为个人的学习方式。我不喜欢跟着老师的步伐走，我喜欢而且需要深入地思考和理解一个问题，希冀达到一理通百理明的效果，而不是做完一题紧接着下一题。因为我认为这种竞赛式的学习不能给我们带来实质性的进步，而且有可能抹杀了我们的创造力。

1979年爱因斯坦邮票

没有应用的数学是很枯燥乏味的，数学不能脱离物理、化学等领域。当然“应用”这个词有很广泛的意思，它不一定在实际生活中起到了立竿见影的作用，而是所有在非数学领域中体现了数学之美的例子都可以叫做数学应用，或者有趣的数学。所以，在经历了一两周纯粹地研究数学之后，我感觉我不能再这样下去了，与其零散地涉猎各个方面的知识，倒不如现在开始就系统地学习一些学科以外的科学知识。于是，我决定重拾高中还没有完成的事情——学习相对论和量子力学——所谓现代物理的两大支柱。

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在狭义相对论发表之前和之后，都有不少实验从不同角度论证了它的正确性。这些实验大多数是实际测量得出结果的，当然也存在着一些“理想实验”，这些实验只需要一定的逻辑推理，而实际上是无法完成的。下面就是我很久之前在某本书（很抱歉，我真的忘记书名了）看到的一个用来推翻光速可叠加的伽利略变换的理想实验。它只用寥寥几句，就好像已经证明了“c+c=c”（c是真空中的光速）的事实。可是“c+c=c”在狭义相对论上是作为原理出现的，是不可能通过逻辑推理来证明的。事实究竟如何？我们先来看这个实验。

光速不变的理想实验

任意选定一个坐标原点。设想原点的正北方$c\cdot t_0$处有一架以光速$c$朝南运行的飞机1；原点的正西方$c\cdot t_0$处有一架以光速$c$朝东运行的飞机2。假设就这样匀速运动着，显然，$t_0$时间后，将会发生惨剧（飞机相撞）。

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数学演算

之前已经提到我要自学相对论和量子力学。作为现代物理的两大支柱，所用的数学也是很“现代”的，不能总是用高中那套简单的模式来计算，所以线性代数是我要熟悉的一门课程之一。现在大一还没开设线性代数课程，但是我所持的观点是：“任何东西只要你需要它，你就应该去学，而且能够学会。”其实我初三暑假的时候就开始接触了线性代数，我看的那本教材，跟国内其他线性代数教材一样，采用了一种只要求记忆和计算的方式来教授，先讲从线性方程组引出行列式，再到矩阵。我那时也在背诵，知道了了行列式怎么算的，行列式可以用来解方程组，矩阵是怎么相乘的等等。但我完全不知道为什么，我甚至不懂为什么这门课程叫“线性代数”。（当然，也有可能是那时的数学水平不够）国外很多教程都讲的很好，很规范地教，但是对于国内像我这样平庸的学生又显得过于专业。我一直期待有这样的一个平衡点，可惜一直没有找到，所以只能从各种渠道摸索。

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前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。

当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。

首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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破解数学猜想

王骁威

今天在看《广州日报》时，偶然发现了一个不曾听闻的名字——王骁威。

他，跟我一样是一个90后，是韶关学院的大四学生，而现在，他多了一点名头：“仅用1表示数问题中的素数猜想”这一难题的破解者。

“仅用1表示数问题中的素数猜想”出现在加拿大数学家Richard K·Guy的著作《数论中未解决的问题》中，是上世纪50年代，加拿大数学家Richard K·Guy提出一个数论猜想：对于给定的素数p，$f(p)=f(p-1)+1$是否能成立。其中，“仅用1表示数”指的是只用1通过加法和乘法以及括号来表示自然数，对于给定的自然数n，用1来表示时，1的最少个数记为$f(n)$。据说在之前就有诸多数学家论证过，在3亿之前的素数里，上述猜想是成立的。

但是王骁威通过举出反例证否了这个命题，他指出p=353942783时这个公式并不成立。他是经过四个月的钻研，王骁威运用集合论的运算、分析、优化，才成功发现这个猜想的反例的。发现反例之后，王骁威陷入兴奋，把整理成的报告寄给国内几家杂志社，结果却令他失望，几家杂志社对他的论文均不感兴趣。“我也怀疑过自己的努力是否值得，但对数学的强烈兴趣让我坚持下来。”王骁威说自己将论文译成英文，英文名为《A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones》（中文名为《仅用1表示数中素数猜想的一个反例》），投往全球最权威的数论杂志———美国艾斯维尔出版社的《Journal of Number Theory》（数论杂志），国外专家的青睐终于让他收获成功的喜悦，论文发表在杂志第133期（明年二月）上。数学大师丘成桐也通过邮件与王骁威交流，并对他表示肯定。

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简介

最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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这是在《200道物理学难题》中的第五道题，题目看起来没有什么特色，但是解法却非常巧妙：

四只蜗牛在做匀速直线运动（速度各不同），它们的运动轨迹是两两相交的直线，但是没有三条直线交于一点，也就是说他们的轨迹有六个交点。在它们之间，已经发生了五次相遇，问第六次相遇是否一定发生？换句话说，有没有可能只发生五次相遇的？

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