科学空间|Scientific Spaces

月全食-201106160340

6月中下旬，是北半球一年中黑夜最短的时期。今年6月22日是夏至节气，以北纬40°地区为例，当天天文昏影终到次日天文晨光始的间隔只有不到4小时50分钟。黑夜短暂会使我们可用于天文观测的时间缩短。但在夏至前后，午夜时分太阳也会在地平线下不太低的位置，这样我们就有可能整夜观测到一些类似国际空间站这样的低轨道人造天体。有兴趣的朋友可以查询相关的过境预报，挑战在一晚可以观测到多少次国际空间站过境这类的观测项目。发生在六月的日偏食和月全食，是今年天象的重头戏。接下来笔者就日偏食讲起，跟大家聊聊发生在6月的天象。

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形形色色的电容

学到人教版高二物理选修3-2的同学们，眼前会出现许多新的名词，如楞次定律、自感（电感）、感抗、容抗等等。其中对于电感，在中文维基百科给予的解释为：当电流改变时，因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势（EMF，electromotive force）。电路中的任何电流，会产生磁场，磁场的磁通量又作用于电路上。依据楞次定律，此磁通会借由感应出的电压（反电动势）而倾向于抵抗电流的改变。磁通改变量对电流改变量的比值称为自感，自感通常也就直接称作是这个电路的电感。

自感的计算公式为：$U=-L\frac{dI}{dt}$，U是自感电动势，I是电流，负号表示自感电动势反抗原来的电流。L是比例系数，就称为电感，对于同一个线圈来说，L是常数，单位是$V\cdot t//A=\Omega \cdot t$，同时也简记为$H$（亨利）。

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学过高中物理的同学都会知道，在经典力学和静电学理论中，万有引力和库仑力有着类似的性质，它们都与距离平方成反比。现在我从引力角度向大家提出一个问题：

一块密度均匀的无限大的平面板，它所产生的引力场是否均匀的？也就是说，板外任意一点的等质量物体受到的引力是否相同？

对于静电力也可以提出类似的问题，只要把引力换成库仑力，把质量换成电荷即可。只要类比有限的情况，我们就会得出结论：场一定是不均匀的！因为力与距离平方成反比，距离不同，受力就不等。果真如此吗？

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拉格朗日

BoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍，它能够引导我们进行某些问题的思考，从而获得简单快捷的解答。接下来，我要说的一个更加令人惊讶的“事实”：“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考，它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学！这不是夸大其辞，这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理，很多物理学家（如费恩曼）被它深深吸引着，甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”！（关于做小作用量原理，大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章）

话说在18世纪，欧拉和拉格朗日开创了一条独特的道路，即用变分法来研究经典力学，从而使经典力学焕发出了新的活力，也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处，变分的对象一般都是标量函数，我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式，就可以进行一系列的研究，比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等（由于BoJone对理论力学研究还不够深入，无法举太多例子，但请相信，其作用远远不止这些），省去了不少繁琐的矢量性分析，这些都是在变分法发明前难以研究的。

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大马国油双峰塔

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

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打从科学空间建立起，就已经设立了“问题百科”这一个分类，但内容一直都很少，主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。

前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读，两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时，我最感兴趣的就是解方程方面的内容（根式解），通过研究理解了1到4次方程的求根公式，并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情！！

现在，稍稍阅读了《无法解出的方程》后，结合我之前在代数方程方面的一些总结，提出一个问题：

若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$

那么，是否存在大于3的n，使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$（j可以是1到n的任意整数）通过有限步骤运算出来？

这个问题可以换一个近似但不等价的说法：

若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答，那么一元(n+1)次方程能否有根式解？

也就是说，(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算？

（不考虑前提的正确与否，显然n=4已经不成立了，当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢？）

期待有人能够解决^_^

有心者会发现科学空间最近的更新慢了...

是的，最近事情有点多。

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在数学竞赛中，很多题目都专门设置了一种技巧，这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的，换句话说，难以“顺理成章”地想下去，或者是说方法不成系统的，这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然，另一方面，个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力，尤其是在抽象思维以及几何想象能力等，因此做一些这样的题目也会有好处的。

下面就是一道很经典的竞赛题，它是在韩国举行的第42届IMO中的题目：

设a,b,c都是正实数，求证：
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

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