科学空间|Scientific Spaces

最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时，发现他更新了一篇很有趣的文章，叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》（果然，物理系的能接触到各种各样有趣的现象），里边谈到通过施加一个运动在单摆上面，倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣，遂也计算了一番。

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我们通常用一个波动方程来描述弦的振动，但是，弦的振动是二维的，也就是说，它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧，胡克系数为$k$，它的松弛状态是均匀的，线密度是$\rho$，长度是$l$，质量是$m$。

如何弹？
我们要分析这根弹簧的运动，即给定弹簧的初始状态，看弹簧的密度如何变化，这种情况类似于“横波”。但是，弹簧本身是连续介质，这是我们不熟悉的，但是我们可以将它离散化，将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

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开学已经是第二周了，我的《微分几何》也上课两周了，进度比较慢，现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$，将这个向量逆时针旋转90度之后，就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$，即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程，$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$，函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$，由于$\boldsymbol{t}^2=1$，对s求导得到
$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$

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在上一篇文章中，我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾，提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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