28 Nov

《自然极值》系列——3.平衡态公理

黄果树大瀑布

黄果树大瀑布

光学定律无疑是一个美妙的原理,而自然界中还存在另外一个我们随处可见的“公理”。平时的生活中,我们总能看见“水往低处流”的现象,这是因为水处于地球重力场的结果(也正因为如此,某些轻生者的自杀活动才得以顺利进行;当然,我们并不需要为了验证这一点而亲自试验。)。由此我们可以联想到一个名词:重力势能。“水往低处流”意味着什么呢?高度变低了。高度更低意味着什么呢?重力势能降低了!换句话说,自然界中物体有趋于势能最低的倾向。我们可以从这个角度来解释:体系总有趋于稳定的倾向,而拥有的能量(势能)越高,则越不稳定。

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10 Dec

《自然极值》系列——6.最速降线的解答

通过上一小节的小故事,我们已经能够基本了解最速降线的内容了,它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数,由于函数是未知的,因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到,伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案,那么我们现在就再次回顾历史,追寻伯努利的答案,并且寻找进一步的应用。

最速降线-1

最速降线-1

为了计算方便,我们把最速降线倒过来,把初始点设置在原点。在下落过程中,重力势能转化为动能,因此,在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$,由于纯粹为了探讨曲线形状,所以我们使g=0.5,即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$,所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$,于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。

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26 Feb

线圈感抗和电容容抗的计算

形形色色的电容

形形色色的电容

学到人教版高二物理选修3-2的同学们,眼前会出现许多新的名词,如楞次定律、自感(电感)、感抗、容抗等等。其中对于电感,在中文维基百科给予的解释为:当电流改变时,因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势(EMF,electromotive force)。电路中的任何电流,会产生磁场,磁场的磁通量又作用于电路上。依据楞次定律,此磁通会借由感应出的电压(反电动势)而倾向于抵抗电流的改变。磁通改变量对电流改变量的比值称为自感,自感通常也就直接称作是这个电路的电感

自感的计算公式为:$U=-L\frac{dI}{dt}$,U是自感电动势,I是电流,负号表示自感电动势反抗原来的电流。L是比例系数,就称为电感,对于同一个线圈来说,L是常数,单位是$V\cdot t//A=\Omega \cdot t$,同时也简记为$H$(亨利)。

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30 Apr

蘑菇的最优形状模型

淡白口蘑

淡白口蘑

达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?

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7 May

本月的天象预报暂停...

由于学校有一点事情要处理,不能抽出时间去更新天象预报。加上由于意外,导致4月份的《天文爱好者》在前几天才到,天象资讯不及时,就来不及更新了。因此,本月暂停天象预报,在此公告一下。感到非常抱歉。

文章还是尽量抽时间更新的,做一下预报,下两篇文章是关于天体力学两个很著名的问题:“双引力中心”问题和“固定引力中心+恒力”问题。即讨论在两个固定的质点的引力吸引下第三个质点的运动轨迹,以及在一个固定质点的引力和一个恒力共同作用下(在二体问题的基础上加上一个恒力)的天体的运动轨迹。这两个问题都是精确可积的,但网上和书上的资料都不是很多。

14 May

“二体+恒力”问题

看完了“双不动中心”问题,我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题,在一个固定质点的引力吸引的基础上,增加一个恒力作用,研究这样的力场中小天体的运动。

咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了,至少运动方程也显得更简单:
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$

其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是,这个问题本质上和“双不动中心”是一样的,它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似,下面我们就来分析这一个过程。

首先很容易写出这个方程的能量守恒积分:
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$

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19 Jul

一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

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20 Jul

[更正]一道经典不等式的美妙证明

在数学竞赛中,很多题目都专门设置了一种技巧,这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的,换句话说,难以“顺理成章”地想下去,或者是说方法不成系统的,这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然,另一方面,个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力,尤其是在抽象思维以及几何想象能力等,因此做一些这样的题目也会有好处的。

下面就是一道很经典的竞赛题,它是在韩国举行的第42届IMO中的题目:

设a,b,c都是正实数,求证:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

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