科学空间|Scientific Spaces

集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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模板来自：http://liam0205.me/2013/08/25/LaTeX-xcumcmart/

源网站的某些附件出现了不可访问的情况，因此保险起见，在这里备份一下，也供同样参加数学建模的朋友下载。感谢liam0205的站长制作该模板。

原网站介绍：

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我们上近世代数课的时候，老师谈到在同构意义之下只有两个不同的四阶群，六阶群也是只有两个，还说到这是代数的研究生入学考试题目。说到这样了，我就饶有兴致地研究了一下，发现只有两个互不同构的四阶群这几乎是显然的，感觉这题用来做研究生考试题太水了吧？接着分析了一下六阶的情况，发现复杂了不少（元素增加）。而今天在实变函数课的时候，想到了一个简化的技巧，遂也证明了只有两个互不同构的六阶群。把结果和研究过程贴在这里，与大家分享。

两个四阶群

不管是四阶群还是六阶群，它们都是有限群。有限群的一个特点就是，可以把它们的乘法表写出来（只要不怕麻烦~~）。既然要研究四阶群的数目，我们只需要列出四阶群的乘法表就行了。设四阶群为$G_4=\{e, a, b, c\}$，其中$e$是单位元，根据这些信息，我们至少可以写出乘法表的一部分：
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a & & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}$$

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伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广，会让很多初学者感到困惑，对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是：这般复杂的推广公式是如何得到的？

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中，有比较详细地对伽马函数的历史介绍，笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是，笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”，并不是说最简单的，而是根据一些基本的性质和定义，直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单，但是思想应当是直接而简洁的。当然，我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生，但是作为事后探索是有益的，有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径，得到了一些结果，可是也得到了一些困惑。

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今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系，我记得我以前想要研究，但是并没有落实。既然她提问了，那么就完成这未完成的计划吧。

标准思路

简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（$n-1$维的平行面）分割，使得$n$维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
$$V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)dt$$
设$t=r\sin\theta_1$，就有
$$V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$

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海伦公式是已知三角形三边的长度$a,b,c$来求面积$S$的公式，是一个相当漂亮的公式，它不算复杂，同时它关于$a,b,c$是对称的，充分体现了三边的同等地位。可是，这样具有对称美的公式推导，往往要经过一个不对称的过程，比如维基百科上的证明，这未免有点美中不足。本文的目的，就是想为此补充一个对称的推导。本文题目为“物理推导”，关键在于“推导”而不是“证明”，同时这里的“物理”并非是通过物理类比而来，而是推导的思想和方法很具有“物理味道”。

$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

在推导开始之前，笔者给出一个评论：海伦公式似乎是由三边长求三角形面积的所有可能的公式之中最简单的一个。

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2007年末公布的30米望远镜效果图

文章来自：新科学家，这是一篇关于30米望远镜（Thirty Meter Telescope，TMT）的新闻，起因是望远镜的制造遭到当地人的不满，当然背后的原因是很深远的，难以说清楚。更多有关TMT的新闻，可以阅读：http://www.ctmt.org/

夏威夷的巨型望远镜：要继续，就得有牺牲！

四分之一必须离开！在停止了两个月之后，夏威夷的巨型30米望远镜（Thirty Meter Telescope，TMT）重新回归到建设进程——但要牺牲其他望远镜。

由于夏威夷当地居民的抗议声越来越大，早在四月望远镜的建设工作就被迫暂停。与该望远镜相比，目前世界上所有的望远镜都相形见绌——它让能够让天文学家们凝视可见的宇宙的边缘。它位于许多夏威夷人认为是“神圣之地”的死火山莫纳克亚山，因此被夏威夷人认为是一种侮辱——尤其是在山顶已经有十多个望远镜了。

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记得很早之前就想尝试一下拍星空，无奈一直都没有设备。以前只知道单反可以拍星空，因此，一直以来的想法就是有钱了就去买台单反。因为各种原因一拖再拖，最后慢慢觉得，对于我这种三分钟热度的人来说，单反的意义还真的不是很大。

这两年，在小米的鼓吹下，小蚁运动相机在国内算是慢慢掀起了一股运动相机潮。这种相机的特点是小巧、灵活，价格也不贵（相比单反）。灵活不仅仅是说它便于携带，而且还是功能上的灵活，比如一代小蚁还支持编程拍摄！（写程序控制快门、ISO、拍摄间隔，并实现定时拍摄等）这样当然很快就吸引了我，在小蚁2代众筹之时，我也咬咬牙，入了一台。

前两天回到家，刚好晴夜，马上就试了一下拍星空的效果。下面是在我家楼顶拍的，用ISO400曝光30秒的效果：

家乡的星空

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