科学空间|Scientific Spaces

解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：

一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？

要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。

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今天早上子瑞给我发了一个问题来，他说：

一个数，各个数字加起来等于104，乘以2后各个数字加起来等于100，已知这个数字没有9，有4个8、3个7和2个6，问这个数字有多少个5？

当然这道题目不难，稍加分析就可以得出答案，不过不得不说这是一道趣题，而且更像一个数字游戏。

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又到年尾，又迎年初！
祝大家新年快乐，诸事如意！

2013

送大家一些桃花照，祝大家走桃花运！
（家门口的桃树，自己照的）

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为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤，本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的：
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$

这是一道微分方程。要求解这道方程，最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解，所以迫使我们要考虑近似解。当然，一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式：
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

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也许中学老师会告诉5、10、20等等的十进制数字怎么化成二进制数字，但又没有老师告诉你怎么将十进制的0.1变成二进制的小数呢？

我们将一个十进制整数化为二进制是这样操作的：在十进制的计算法则中，将十进制数除以2，得到商和余数；把商除以2，得到商和余数；...重复下去，直到商为0。然后把每次得到的余数按倒序排列，就得到了二进制数字。比如6：

$$\begin{aligned}6\div 2=3...0 \\ 3\div 2=1...1 \\ 1\div 2=0...1\end{aligned}$$

倒过来就是110。这就是二进制中的6了。

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昨天晚上一位网友与我讨论以下问题：

函数$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$的图像为双曲线，在此双曲线的两支上分别取P、Q点，求PQ的最短距离。

显然，如果双曲线是普通的$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的形式，则这个问题是相当简单的。就是当y=0时两个点的距离，也就是2a。但是很明显这样的一条双曲线是经过旋转的。因此我们需要知道它究竟旋转了多少度$\theta$。然后列出$y=(\tan\theta) x$，联立双曲线方程就可以求出两个点了。

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在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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