费曼积分法(5)：欧拉数学的传承

在大学第二学期，我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分，我总想用自己的方法来解决它，这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时，成就感高涨，遂在此总结，与大家共勉。

这和欧拉数学有什么关系呢？之前已经提到过，欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式，给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内，它着眼于用一种特殊的视角解决问题，而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中，我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。

本文继续对费曼积分法的研究，得出一些不是很严谨的结论，为以后的应用奠下基础。

一、不成立的函数

首先我们重新考虑$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$。这一次我们将它引入复数范畴内，考虑：
$$\int_0^{\infty}\frac{\cos x+i \sin x}{x}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx$$

这次读者大概就可以明白，为什么我们当初求此积分的时候要将它添上因子$e^{-ax}$了，即
$$F(a)=\int_0^{\infty} e^{-ax}\frac{e^{ix}}{x}dx$$

对a求导后变成了
$$F'(a)=-\int_0^{\infty} e^{(-a+i)x}dx$$

这样很快得到$F'(a)=\frac{1}{-a+i}$了。

对a积分，得到$F(a)=-ln(a-i)+C$，C是待定常数。我们知道，当$a\to +\infty$时积分值为0，然而$\lim_{a\to +\infty} ln(a-i) \to \infty$，难道说$C \to \infty$吗？上述程序究竟哪里错了？？

其实上述推理一点都没错。问题的关键在于$\int_0^{\infty} \frac{cos x}{x}dx$是趋于无穷的！

然而，我们还有折衷的方法，我们把无穷大也当作普通的数字那样运算。其中复数$a-i$可以改写成$re^{i\theta}$的形式，$r=\sqrt{1+a^2}$和$\theta=arcrtan(-\frac{1}{a})$，那么
$$\begin{aligned}-ln(a-i)=-\frac{1}{2}ln(1+a^2)-iarctan(-\frac{1}{a}) \\ =-\frac{1}{2}ln(1+a^2)+iarccot(a)\end{aligned}$$

无穷大的待定常数C也由实部和虚部组成，实部是无限的，但是虚部却是有限的，事实上，由$a\to +\infty$时积分值为0得出虚部为0，所以根据对应相等原则，有
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx=arccot(0)=\frac{\pi}{2}$$

这还不是本文的全部结论。我们将上述积分的x直接换成ax，那么有：
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{ax}d(ax)=\frac{\pi}{2}$$
即
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$
两边对a求导得：
$$\int_0^{\infty} \cos (ax) dx=0$$
或者写成
$\int_{-\infty}^{+\infty} cos (ax) dx=0(a\neq 0)$。

要注意的是，这在我们所学习的微积分范畴内是不可理解的。因为$\lim_{x\to \infty}sin(ax)$是不存在的。但是这并不妨碍我们使用它。实际上，这是正确的，但是它不属于常规的函数，它是一种泛函。而对于“欧拉数学”来说，我们只需要得到这个结果并应用它，关于它的正确性将会在其他的推导中得到检验。有心的读者不难发现，这和Dirac函数的傅里叶变换有点相似，实际上它就是Dirac函数的傅里叶变换的实数部分。

二、高速振荡的三角函数积分

给出积分$\int_a^b f(x)cos(\omega x)dx$，其中f(x)是形态良好的函数（它的导数处处存在且有界，且与a无关）。我们考虑的是极限情况：$\lim_{\omega \to \infty} \int_a^b f(x)cos(\omega x)dx$，或者写成：
$$\lim_{h\to 0} \int_a^b f(x)\cos(\frac{x}{h})dx$$

也许读者会认为这取决于f(x)的形式，但是这里我将告诉大家，这结果必然为0.

怎么理解这样的情况呢？我们不妨这样考虑，当$\omega $非常大时，周期会非常小，这时候对于一个很小的积分区间都会有$\int Acos(\omega x)dx=\frac{A}{\omega}sin(\omega x)=0$，其中A是任意常数。而对于$\lim_{\omega \to \infty} \int_a^b f(x)cos(\omega x)dx$，因为周期非常小，以至于f(x)还来不及产生变化，就已经被$cos(\omega x)$的周期性消去了它的效应。用费曼对量子力学描述的语言说，那就是任意一个$x_0$所贡献的$f(x_0)cos(\omega x_0)dx$，都被它临近的一个点$f(x_0+\frac{\pi}{\omega})cos(\omega (x_0+\frac{\pi}{\omega}))dx$抵消了，由于$\omega$非常大（实际上是无穷大），$f(x_0+\frac{\pi}{\omega})$还没有明显的变化，因此总效应为0。

当然这只是个直观的理解，严格来说需要证明，但我们不去做这件事情，因为还有一个更令人信服的证据让我们确信上述过程是正确的：费曼就是用类似的思想，架起了沟通经典力学和量子力学的一座桥梁，创立了量子力学的路径积分表达形式，“使量子力学第一次比经典力学简单了”！而其中他把量子力学过渡到经典力学的方式，正是类似于我们刚才在上边的讨论。它相当于说在经典力学中h是0，量子力学中h是普朗克常数。

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