在大学第二学期,我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分,我总想用自己的方法来解决它,这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时,成就感高涨,遂在此总结,与大家共勉。

这和欧拉数学有什么关系呢?之前已经提到过,欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式,给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内,它着眼于用一种特殊的视角解决问题,而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中,我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。

本文继续对费曼积分法的研究,得出一些不是很严谨的结论,为以后的应用奠下基础。

一、不成立的函数

首先我们重新考虑0sinxxdx。这一次我们将它引入复数范畴内,考虑:
0cosx+isinxxdx=0eixxdx

这次读者大概就可以明白,为什么我们当初求此积分的时候要将它添上因子eax了,即
F(a)=0eaxeixxdx

对a求导后变成了
F(a)=0e(a+i)xdx

这样很快得到F(a)=1a+i了。

对a积分,得到F(a)=ln(ai)+C,C是待定常数。我们知道,当a+时积分值为0,然而lim,难道说C \to \infty吗?上述程序究竟哪里错了??

其实上述推理一点都没错。问题的关键在于\int_0^{\infty} \frac{cos x}{x}dx是趋于无穷的!

然而,我们还有折衷的方法,我们把无穷大也当作普通的数字那样运算。其中复数a-i可以改写成re^{i\theta}的形式,r=\sqrt{1+a^2}\theta=arcrtan(-\frac{1}{a}),那么
\begin{aligned}-ln(a-i)=-\frac{1}{2}ln(1+a^2)-iarctan(-\frac{1}{a}) \\ =-\frac{1}{2}ln(1+a^2)+iarccot(a)\end{aligned}

无穷大的待定常数C也由实部和虚部组成,实部是无限的,但是虚部却是有限的,事实上,由a\to +\infty时积分值为0得出虚部为0,所以根据对应相等原则,有
\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx=arccot(0)=\frac{\pi}{2}

这还不是本文的全部结论。我们将上述积分的x直接换成ax,那么有:
\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{ax}d(ax)=\frac{\pi}{2}

\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{x}dx=\frac{\pi}{2}
两边对a求导得:
\int_0^{\infty} \cos (ax) dx=0
或者写成
\int_{-\infty}^{+\infty} cos (ax) dx=0(a\neq 0)

要注意的是,这在我们所学习的微积分范畴内是不可理解的。因为\lim_{x\to \infty}sin(ax)是不存在的。但是这并不妨碍我们使用它。实际上,这是正确的,但是它不属于常规的函数,它是一种泛函。而对于“欧拉数学”来说,我们只需要得到这个结果并应用它,关于它的正确性将会在其他的推导中得到检验。有心的读者不难发现,这和Dirac函数的傅里叶变换有点相似,实际上它就是Dirac函数的傅里叶变换的实数部分

二、高速振荡的三角函数积分

给出积分\int_a^b f(x)cos(\omega x)dx,其中f(x)是形态良好的函数(它的导数处处存在且有界,且与a无关)。我们考虑的是极限情况:\lim_{\omega \to \infty} \int_a^b f(x)cos(\omega x)dx,或者写成:
\lim_{h\to 0} \int_a^b f(x)\cos(\frac{x}{h})dx

也许读者会认为这取决于f(x)的形式,但是这里我将告诉大家,这结果必然为0.

怎么理解这样的情况呢?我们不妨这样考虑,当\omega 非常大时,周期会非常小,这时候对于一个很小的积分区间都会有\int Acos(\omega x)dx=\frac{A}{\omega}sin(\omega x)=0,其中A是任意常数。而对于\lim_{\omega \to \infty} \int_a^b f(x)cos(\omega x)dx,因为周期非常小,以至于f(x)还来不及产生变化,就已经被cos(\omega x)的周期性消去了它的效应。用费曼对量子力学描述的语言说,那就是任意一个x_0所贡献的f(x_0)cos(\omega x_0)dx,都被它临近的一个点f(x_0+\frac{\pi}{\omega})cos(\omega (x_0+\frac{\pi}{\omega}))dx抵消了,由于\omega非常大(实际上是无穷大),f(x_0+\frac{\pi}{\omega})还没有明显的变化,因此总效应为0。

当然这只是个直观的理解,严格来说需要证明,但我们不去做这件事情,因为还有一个更令人信服的证据让我们确信上述过程是正确的:费曼就是用类似的思想,架起了沟通经典力学和量子力学的一座桥梁,创立了量子力学的路径积分表达形式,“使量子力学第一次比经典力学简单了”!而其中他把量子力学过渡到经典力学的方式,正是类似于我们刚才在上边的讨论。它相当于说在经典力学中h是0,量子力学中h是普朗克常数。

转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/1942

更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!

如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (Mar. 24, 2013). 《费曼积分法(5):欧拉数学的传承 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1942

@online{kexuefm-1942,
        title={费曼积分法(5):欧拉数学的传承},
        author={苏剑林},
        year={2013},
        month={Mar},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1942}},
}