11 Jun

用PyPy提高Python脚本执行效率

《两百万前素数之和与前两百万素数之和》中,我们用Python求了前两百万的素数和以及两百万前的素数和,并且得到了在Python 3.3中的执行时间如下:

两百万前的素数之和:
142913828922
time: 2.4048174478605646

前两百万的素数之和:
31381137530481
time: 46.75734807838953

于是想办法提高python脚本的执行效率,我觉得在算法方面,优化空间已经比较小了,于是考虑执行器上的优化。在搜索的无意间我看到了一个名词——Psyco!这是python的一个外部模块,导入后可以加快.py脚本的执行。网上也有《用 Psyco 让 Python 运行得像 C一样快》、《利用 psyco 让 Python 程序执行更快》之类的文章,说明Psyco确实是一个可行的选择,于是就跃跃欲试了,后来了解到Psyco在2012年已经停止开发,只支持到Python 2.4版本,目前它由 PyPy所接替。于是我就下载了PyPy

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10 Jun

两百万前素数之和与前两百万素数之和

标题说了两道比较好玩的编程题,如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话,那么让我再说得清晰一点:

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和;
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的,前一道题目是Project Euler的第10题,后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码,大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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4 Jun

当概率遇上复变:随机游走与路径积分

我们在上一篇文章中已经看到,随机游走的概率分布是正态的,而在概率论中可以了解到正态分布(几乎)是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广,我们或许可以思考一个问题,究竟是随机游走造就了正态分布,还是正态分布造就了随机游走?换句话说,哪个更本质些?个人就自己目前所阅读到的内容来看,随机游走更本质些,随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性(比如每次测量的误差),它的分布正好就是正态分布,所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式,原则上来说,它更广泛,更深刻,其大名曰“路径积分”。

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30 Apr

当概率遇上复变:随机游走基本公式

笔者发现,有很多概率问题,尤其是独立重复实验问题,如果用生成函数的方法来做,会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例,它又被形象地叫做“醉汉问题”,其本质上是一个二项分布,但是由于取了极限,出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题:

考虑实数轴上的一个粒子,在$t=0$时刻它位于原点,每过一秒,它要不向前移动一格(+1),要不就向后移动一格(-1),问$n$秒后它所处位置的概率分布。

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25 Apr

傅里叶变换:只需要异想天开?

在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式

我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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25 Apr

当概率遇上复变:解析概率

每当看到数学的两个看似毫不相关的分支巧妙地联系了起来时,我总会为数学的神奇美丽惊叹不已。在很久以前,当我看到通过生成函数法把数论问题与复变函数方法结合起来,衍生出一门奇妙的“解析数论”时,我就惊叹过生成函数法的漂亮!可惜,一直都没有好好写整理这些内容。今天,当我在看李政道先生的《物理学中的数学方法》时,看到他把复变函数跟随机游动如鬼斧神工般了起来,再次让我拍案叫绝。最后实在压抑不住心中的激动,在此写写概率论和生成函数的事情。

数论与复变函数结合,就生成了一门“解析数论”,按照这个说法,概率与复变函数结合,应该就会有一门“解析概率”,但是我在网上搜索的时候,并没有发现这个名词的存在。经过如此,本文还是试用了这个名词。虽然这个名词没有流行,但事实上,解析概率的方法并不算新,它可以追溯到伟大的数学家拉普拉斯以及他的著作《分析概率论》中。尽管如此,这种巧妙漂亮的方法似乎没有得到大家应该有的充分的认识。

我觉得,即使作为一个简洁的计算工具,生成函数法这个美丽的技巧,也应该尽可能为科学爱好者所知,更不用说数学专业的朋友了。

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21 Apr

数独的自动推理

写在前面:作为离散数学的实验作业,我选择了研究数独。经过测试发现,数独的自动推理还不算难,我把两种常规的推理思路转化为了计算机代码,并结合了随机性推导,得到了一个解题能力还不错的数独程序。事实上,本文的程序还可以进一步优化,以得到更高能力的数独程序(只需要整理一下代码,加上几个循环和判断即可),但是我实在太懒,没有动力继续弄下去了,就这样先和大家分享吧。最后,笔者认为本文的算法是更接近我们的思维的算法。

数独简介

历史

相传数独源起于拉丁方阵(Latin Square),1970年代在美国发展,改名为数字拼图(Number Place)、之后流传至日本并发扬光大,以数学智力游戏智力拼图游戏发表。在1984年一本游戏杂志《パズル通信ニコリ》正式把它命名为数独,意思是“在每一格只有一个数字”。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(Wayne Gould)在1997年3月到日本东京旅游时,无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表,不久其他报纸也发表,很快便风靡全英国,之后他用了6年时间编写了电脑程式,并将它放在网站上,使这个游戏很快在全世界流行。

台湾于2005年5月由“中国时报”首度引进, 且每日连载, 亦造成很大的回响。台湾数独发展协会(Taiwan Sudoku Association, 简称 TSA)亦为世界解谜联盟会员。香港是在2005年7月30日由AM730在创刊时引入数独。中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独。北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式,成为世界谜题联合会的39个成员之一。(引用自“中文维基百科”: http://zh.wikipedia.org/wiki/数独

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9 Apr

趣题:与橡皮绳赛跑的蚂蚁

这是一道流传很广的趣题,也许不少读者已经听说过它,然而广为人知却不一定“广为人‘解’”,在此把题目给出来,写下我自己的答案,并且谈谈我对答案的看法。题目是这样子的:

与橡皮绳赛跑的蚂蚁
一只蚂蚁沿着一条长$l=100$米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米。假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉伸是均匀的。蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动,问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

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