从去噪自编码器到生成模型

在我看来，几大顶会之中，ICLR的论文通常是最有意思的，因为它们的选题和风格基本上都比较轻松活泼、天马行空，让人有脑洞大开之感。所以，ICLR 2020的投稿论文列表出来之后，我也抽时间粗略过了一下这些论文，确实发现了不少有意思的工作。

其中，我发现了两篇利用去噪自编码器的思想做生成模型的论文，分别是《Learning Generative Models using Denoising Density Estimators》和《Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces》。由于常规做生成模型的思路我基本都有所了解，所以这种“别具一格”的思路就引起了我的兴趣。细读之下，发现两者的出发点是一致的，但是具体做法又有所不同，最终的落脚点又是一样的，颇有“一题多解”的美妙，遂将这两篇论文放在一起，对比分析一翻。

去噪自编码 #

两篇论文的根本出发点都是去噪自编码器，更准确地说，它利用了去噪自编码器的最优解

基本结果： 若$x,\varepsilon\in \mathbb{R}^d$，并且$x\sim p(x),\varepsilon\sim u(\varepsilon)$，这里$u(\varepsilon)=\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_d)$，那么 $$\begin{equation}\begin{aligned}r(x)=&\,\mathop{\text{argmin}}_{r}\mathbb{E}_{x\sim p(x),\varepsilon\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 I_d)}\left[\Vert r(x + \varepsilon) - x\Vert^2\right] \\ =&\,x + \sigma^2 \nabla_x \,\log\hat{p}(x)\end{aligned}\label{eq:denoise}\end{equation}$$

其中$\hat{p}(x)=[p*u](x)=\int p(x-\varepsilon)u(\varepsilon) d\varepsilon=\int p(\varepsilon)u(x-\varepsilon) d\varepsilon$指的是分布$p(x)$和$u(\varepsilon)$的卷积运算，具体含义是$x+\varepsilon$的概率密度，换言之，如果$p(x)$代表真实图片的分布，那么如果我们能实现从$\hat{p}(x)$中采样，那么得到的是一批带有高斯噪声的真实图片。

结果$\eqref{eq:denoise}$也就是说加性高斯噪声的最优去噪自编码器是能显式地计算出来，并且结果跟分布的梯度有关。这个结果非常有意思，也非常深刻，值得我们多加回味。比如，式$\eqref{eq:denoise}$告诉我们$r(x)-x$实际上就是对（带噪声的）真实分布梯度的估计，而有了真实分布的梯度，其实可以做很多事情，尤其是生成模型相关的事情。

证明：其实$\eqref{eq:denoise}$的证明并不困难，变分目标得到
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\delta \iint p(x)u(\varepsilon)\left\Vert r(x + \varepsilon) - x\right\Vert_2^2 dx d\varepsilon\\ =&\delta \iint p(x)u(y-x)\left\Vert r(y) - x\right\Vert_2^2 dx dy\\ =&2\iint p(x)u(y-x)\left\langle r(y) - x, \delta r(y)\right\rangle dx dy\\ \end{aligned}\end{equation}$$
所以$\int p(x)u(y-x)(r(y) - x)dx=0$，即
$$\begin{equation}r(y) = \frac{\int p(x)u(y-x)x dx}{\int p(x)u(y-x) dx}\end{equation}$$
代入表达式$u(\varepsilon)=\frac{1}{(2\pi \sigma^2)^{d/2}}\exp\left(-\frac{\left\Vert\varepsilon\right\Vert_2^2}{2\sigma^2}\right)$，即得
$$\begin{equation}r(y) = y + \sigma^2\nabla_y \log\left[p*u\right](y)\end{equation}$$

曲径通幽处 #

我们首先来介绍一下《Learning Generative Models using Denoising Density Estimators》的思路。按照GAN和VAE的通常习惯，我们是希望训练一个映射$x=G(z)$，使得从先验分布$q(z)$中采样出来的$z$都能被映射为一个真实样本，用概率的话说，那就是希望拉近$p(x)$和下述的$q(x)$的距离：
$$\begin{equation}q(x) = \int q(z)\delta(x - G_{\theta}(z))dz\end{equation}$$
为此，GAN常用的优化目标是最小化$KL(q(x)\Vert p(x))$，这个观点可以参考《用变分推断统一理解生成模型（VAE、GAN、AAE、ALI）》和《能量视角下的GAN模型（二）：GAN＝“分析”＋“采样”》。但是，由于前面估计的是$\hat{p}(x)$的梯度，我们可以换个目标：最小化$KL\left(\hat{q}(x)\big\Vert \hat{p}(x)\right)$。

为了，我们可以进行演算：
$$\begin{equation}\begin{aligned}KL\left(\hat{q}(x)\big\Vert \hat{p}(x)\right)=&\int \hat{q}(x) \log \frac{\hat{q}(x)}{\hat{p}(x)}dx\\ =&\int q(x)u(\varepsilon) \log \frac{\hat{q}(x+\varepsilon)}{\hat{p}(x+\varepsilon)}dx d\varepsilon\\ =&\int q(z)\delta(x-G_{\theta}(z))u(\varepsilon) \log \frac{\hat{q}(x+\varepsilon)}{\hat{p}(x+\varepsilon)}dx d\varepsilon dz\\ =&\int q(z)u(\varepsilon) \log \frac{\hat{q}(G_{\theta}(z)+\varepsilon)}{\hat{p}(G_{\theta}(z)+\varepsilon)}d\varepsilon dz\\ =&\,\mathbb{E}_{z\sim q(z), \varepsilon\sim u(\varepsilon)}\big[\log \hat{q}(G_{\theta}(z)+\varepsilon) - \log \hat{p}(G_{\theta}(z)+\varepsilon)\big]\\ \end{aligned}\label{eq:dae-1}\end{equation}$$
这个目标需要我们能得到$\log\hat{p}(x)$和$\log\hat{q}(x)$的估计。我们可以用神经网络构建两个$\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$的模型$E_p(x)$和$E_q(x)$，然后分别去最小化
$$\begin{equation}\begin{aligned}\mathop{\text{argmin}}_{E_p}\mathbb{E}_{x\sim p(x),\varepsilon\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 I_d)}\left[\Vert \nabla_x E_p(x + \varepsilon) + \varepsilon\Vert^2\right]\\ \mathop{\text{argmin}}_{E_q}\mathbb{E}_{x\sim q(x),\varepsilon\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 I_d)}\left[\Vert \nabla_x E_q(x + \varepsilon) + \varepsilon\Vert^2\right] \end{aligned}\label{eq:e-grad}\end{equation}$$
也就是用$\nabla_x E_p(x)+x$和$\nabla_x E_q(x)+x$作为去噪自编码器，根据结果$\eqref{eq:denoise}$，我们就有
$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}\nabla_x E_p(x)+x=x+\sigma^2 \nabla_x \log \hat{p}(x)\\ \nabla_x E_q(x)+x=x+\sigma^2 \nabla_x \log \hat{q}(x)\end{aligned}\right. \quad\Rightarrow\quad \left\{\begin{aligned}E_p(x) = \sigma^2 \log \hat{p}(x) + C_1\\ E_q(x) = \sigma^2 \log \hat{q}(x) + C_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
也就是说在相差一个常数的情况下，$E_p(x)$正比于$\log \hat{p}(x)$，$E_q(x)$也正比于$\log \hat{q}(x)$，而常数不影响优化，所以我们可以将$E_p(x)$和$E_q(x)$替换到$\eqref{eq:dae-1}$里边去，得到
$$\begin{equation}KL\left(\hat{q}(x)\big\Vert \hat{p}(x)\right)\sim\,\mathbb{E}_{z\sim q(z), \varepsilon\sim u(\varepsilon)}\big[E_q(G_{\theta}(z)+\varepsilon) - E_p(G_{\theta}(z)+\varepsilon)\big]\label{eq:dae-2}\end{equation}$$

这就得到了一个生成模型的流程：

选定先验分布$q(z)$，初始化$G_{\theta}(z)$，事先求好$E_p(x)$。循环执行下面的3步直到收敛：

  1、选一批$z\sim q(z)$，选一批噪声$\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I_d)$，合成一批带噪声的假样本$x = G_{\theta}(z)+\varepsilon$；

  2、利用这批带噪声的假样本训练$E_q(x)$；

  3、固定$E_p,E_q$，用梯度下降根据$\eqref{eq:dae-2}$更新若干步$G_{\theta}$；

这篇论文的实验比较简单，只做了mnist和fashion mnist的实验，证明了它的可行性：

fashion mnist的生成效果

峰回路转间 #

另外一篇论文《Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces》就更粗暴直接了，它相当于去噪自编码器跟《能量视角下的GAN模型（三）：生成模型=能量模型》的结合。

因为$\eqref{eq:denoise}$已经帮我们得到了$\nabla_x\log\hat{p}(x)=(r(x)-x)/\sigma^2$了（当然这篇论文的实际做法也不是直接用神经网络拟合$r(x)$，而是像$\eqref{eq:e-grad}$一样用神经网络拟合一个标量函数的，但这不影响思想），其实这就能够帮助我们从$\hat{p}(x)$采样了。当然采样出来的图片是有噪声的，我们还需要它采样出来的结果传入$r(x)$去噪一下，即
$$p(x) = \mathbb{E}_{x_{noise}\sim \hat{p}(x)} \big[\delta(x - r(x_{noise}))\big]$$

那具体来说怎么从$\hat{p}(x)$采样呢？Langevin方程！因为已经知道了$\nabla_x\log\hat{p}(x)$，那么下述Langevin方程
$$\begin{equation}x_{t+1} = x_t + \frac{1}{2}\varepsilon \nabla_x\log\hat{p}(x) + \sqrt{\varepsilon}\alpha,\quad \alpha \sim \mathcal{N}(\alpha;0,1)\label{eq:sde}\end{equation}$$
当$\varepsilon\to 0$且$t\to\infty$时，序列$\{x_t\}$所服从的分布就是从$\hat{p}(x)$，换句话说，$\hat{p}(x)$是该Langevin方程的静态分布。

于是，从$\hat{p}(x)$采样这个过程，就被《Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces》用这么一种粗暴直接（但我觉得不优雅）的方法解决了，所以训练完去噪自编码后，就自动地得到了一个生成模型了...

总的过程是：

1、训练去噪自编码器$r(x)$，得到$\nabla_x\hat{p}(x)$；

2、用迭代过程$\eqref{eq:sde}$采样，采样结果是一批带噪声的真实样本；

3、将第2步的采样结果传入$r(x)$去噪，得到无噪声的样本。

当然，论文还有很多细节，论文的核心技巧是用了退火技巧来稳定训练过程，提高生成质量，但笔者对这些并不是很感兴趣，因为我只是想学习一些新奇的生成模型思想，拓宽视野。不过不得不说，虽然做法有点粗暴，这篇论文的生成效果还是有一定的竞争力的，在fashion mnist、CelebA、cifar10都有相当不错的生成效果：

fashion mnist、CelebA、cifar10上的生成效果

曲终人散时 #

本文介绍了投稿ICLR 2020的两篇类似的论文，都是利用去噪自编码器来做生成模型的，因为之前我没了解过相关思路，所以就饶有兴致对比阅读了一番。

且不说生成效果如何，我觉得它们都是颇具启发性的，能引起我的一些思考（不仅是CV，还包括NLP方面的）。比如Bert的MLM预训练方式本质上也是一个去噪自编码器，那有没有类似$\eqref{eq:denoise}$的结果？或者反过来，类似$\eqref{eq:denoise}$的结果能不能启发我们构造一些新的预训练任务，又或者能不能借此说清楚pretrain + finetune这种流程的本质原理？

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更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

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