记得几年前，BoJone提供过一个证明均值不等式（代数—几何平均不等式）的方法，但是其中的证明有点长，有点让人眼花缭乱的感觉（虽然里边的思想还是挺简单的）。昨天在上《数学分析》课程的时候，老师讲到了这个不等式，也讲了他的证明，用的是数学归纳法，感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法，可是在昨天划了一整天，都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来，所以就放在这里与大家分享，同时也作备忘之用。

对于若干个非负数$x_i$，我们有
$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$$

记为$A_n \geq G_n$

证明1：数学归纳法
这个方法不算简单，但是非常巧妙，它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路，而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设$A_n \geq G_n$成立，要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有

$$\begin{aligned}&2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1} \\
=&[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}] \\
\geq &nG_n+n(x_{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}} \\
\geq &2n(G_{n+1}^{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}\end{aligned}$$

化简即得：$A_{n+1} \geq G_{n+1}$

这就完成了从n到n+1的递推。其他细节略。

证明2：对数方法

这个方法更巧妙，更简单，有可能是我见过的最简单方法了。它利用的一个很简单的公式是对于所有非负数x，有$e^x \geq 1+x$，并且当$x\geq -1$时，两边都是非负数。

（为了方便排版，记$exp(x)=e^x$）

$$\begin{aligned}&\exp\left(\frac{n A_n}{G_n}-n\right) \\ =&\exp\left(\frac{x_1}{G_n}-1\right)\cdot \exp\left(\frac{x_2}{G_n}-1\right)\dots\exp\left(\frac{x_n}{G_n}-1\right) \\ \geq &\frac{x_1}{G_n}\cdot \frac{x_2}{G_n}...\frac{x_n}{G_n} \quad\text{(前面的各项指数部分显然都大于等于-1)}\\ =&1\end{aligned}$$

也就是说
$$\exp\left(n\frac{A_n}{G_n}-n\right) \geq 1$$

稍稍化简就有$A_n \geq G_n$

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苏剑林. (Sep. 26, 2012). 《均值不等式的两个巧妙证明 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1716

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        title={均值不等式的两个巧妙证明},
        author={苏剑林},
        year={2012},
        month={Sep},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1716}},
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