科学空间|Scientific Spaces

在文章《初探muP：超参数的跨模型尺度迁移规律》中，我们基于前向传播、反向传播、损失增量和特征变化的尺度不变性推导了muP（Maximal Update Parametrization）。可能对于部分读者来说，这一过程还是显得有些繁琐，但实际上它比原始论文已经明显简化。要知道，我们是在单篇文章内相对完整地介绍的muP，而muP的论文实际上是作者Tensor Programs系列论文的第5篇！

不过好消息是，作者在后续的研究《A Spectral Condition for Feature Learning》中，发现了一种新的理解方式（下称“谱条件”），它比muP的原始推导和笔者的推导都更加直观和简洁，但却能得到比muP更丰富的结果，可谓muP的高阶版本，简明且不失高明的代表作。

准备工作

顾名思义，谱条件（Spectral Condition）跟谱范数（Spectral Norm）相关，它的出发点是谱范数的一个基本不等式：
\begin{equation}\Vert\boldsymbol{x}\boldsymbol{W}\Vert_2\leq \Vert\boldsymbol{x}\Vert_2 \Vert\boldsymbol{W}\Vert_2\label{neq:spec-2}\end{equation}

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前两篇文章我们都在讨论负载均衡，其中在《MoE环游记：3、换个思路来分配》介绍Loss-Free方案时，笔者留了一个悬念：它引入的Bias项有一个冗余的自由度，这个自由度可以用来做另外有趣的事情。这篇文章我们就来讨论这件事。

我们知道，MoE是为每个Token只选择最匹配的$k$个Expert来进行计算，从而在增大参数量的同时还节省了计算量。然而，当我们仔细思考就会发现，这个策略实际上有明显的可改进之处：直观来看，每个Token的难度并不一样，所以更合理的方案应该是难的Token分配更多的计算资源，简单的token分配更少的资源，这样或许能在同样有限的资源下将效果最大化。

而刚才提到的Bias的额外自由度，恰好可以用来简单地实现这个目标。

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