15
Feb
积分估计的极值原理——变分原理的初级版本
By 苏剑林 | 2016-02-15 | 35839位读者 | 引用如果一直关注科学空间的朋友会发现，笔者一直对极值原理有偏爱。比如，之前曾经写过一系列《自然极值》的文章，介绍一些极值问题和变分法；在物理学中，笔者偏爱最小作用量原理的形式；在数据挖掘中，笔者也因此对基于最大熵原理的最大熵模型有浓厚的兴趣；最近，在做《量子力学与路径积分》的习题中，笔者也对第十一章所说的变分原理产生了很大的兴趣。
对于一样新东西，笔者的学习方法是以一个尽可能简单的例子搞清楚它的原理和思想，然后再逐步复杂化，这样子我就不至于迷失了。对于变分原理，它是估算路径积分的一个很强大的方法，路径积分是泛函积分，或者说，无穷维积分，那么很自然想到，对于有限维的积分估计，比如最简单的一维积分，有没有类似的估算原理呢？事实上是有的，它并不复杂，弄懂它有助于了解变分原理的核心思想。很遗憾，我并没有找到已有的资料描述这个简化版的原理，可能跟我找的资料比较少有关。
从高斯型积分出发
变分原理本质上是Jensen不等式的应用。我们从下述积分出发
$$\begin{equation}\label{jifen}I(\epsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-\epsilon x^4}dx\end{equation}$$
拉格朗日
BoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍，它能够引导我们进行某些问题的思考，从而获得简单快捷的解答。接下来，我要说的一个更加令人惊讶的“事实”：“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考，它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学！这不是夸大其辞，这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理，很多物理学家（如费恩曼）被它深深吸引着，甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”！（关于做小作用量原理，大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章）
话说在18世纪，欧拉和拉格朗日开创了一条独特的道路，即用变分法来研究经典力学，从而使经典力学焕发出了新的活力，也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处，变分的对象一般都是标量函数，我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式，就可以进行一系列的研究，比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等（由于BoJone对理论力学研究还不够深入，无法举太多例子，但请相信，其作用远远不止这些），省去了不少繁琐的矢量性分析，这些都是在变分法发明前难以研究的。
5
Apr
重提“旋转弹簧伸长”问题（变分解法）
By 苏剑林 | 2011-04-05 | 20315位读者 | 引用感谢Awank-Newton读者的来信，本文于2013.01.30作了修正，主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误，导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》
在下面的两篇文章中，BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题，并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程，然后再转变为微分方程来解；后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程，两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
今天，再经过一段时间的变分法涉猎后，BoJone尝试从变分的角度（总能量最小）来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离，该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$，该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$，旋转前的长度为$l_0$，旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态，由平衡态公理（参看《自然极值》系列），平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。
15
May
地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 62290位读者 | 引用之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...
与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
在上一篇文章中，我们已经得到了电偶极子的等势面和电场线方程，这应该可以让我们对电偶极子的力场情况有个大致的了解了。当然，我们还是希望能够求出在这样的一个受力情况下，一个带电粒子是如何运动的。简单起见，在下面的探讨中，我们假定带电粒子的质量和电荷量均为1，至于电荷的正负，可以通过改变在$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$中的k值的正负来控制。我们使用的工具依旧是理论力学中的欧拉-拉格朗日方程。
也许不少读者始终对公式感到头疼，更不用说是博大精深的理论力学了。但是请相信我，如果你花一点点心思去弄懂用变分法研究力学（或其他物理系统，但我目前只会用于力学）的基本思路和步骤，那么对你的物理研究是大有裨益的。因为在我眼中，学习了一丁点的理论力学知识后，我看到的只有物理的简洁与和谐。有兴趣的朋友可以看看我的那几篇《自然极值》等相关文章。
首先写出动能的表达式：$T=\frac{1}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)$
还有势能：$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$
3
Feb
关于“平衡态公理”的更正与思考
By 苏剑林 | 2013-02-03 | 20361位读者 | 引用在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。
先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$
15
Oct
【理解黎曼几何】3. 测地线
By 苏剑林 | 2016-10-15 | 56664位读者 | 引用测地线
黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。
几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的“客观实体”（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是$(1, 1)$，在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。
因此，在学习黎曼几何时，往“客观实体”方向思考，总是有益的。
平面上的测地线
有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。
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