科学空间|Scientific Spaces

在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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向量之间的运算有点积和叉积（Cross Product，向量积、外积），其中点积是比较简单的，而且很容易推广到高维；但是叉积不同，一般来说它只不过是三维空间中的东西。叉积的难以推广在于它的多重含义性，如果将向量及其叉积放到张量里边来看（这属于微分形式的内容），那么三维以上的向量叉积是不存在的；但是如果只是把叉积看成是“由两个向量生成第三个与其正交的向量”的工具的话，那么叉积也是可以高维推广的，而且推广的技巧非常巧妙，与三维空间的叉积也非常相似。

回顾三维空间

为了推广三维空间的叉积，首先回顾三维空间的叉积来源是有益的。叉积起源于四元数乘法，但是从目的性来讲，我们希望构造一个向量$\boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3)$，使得它与已知的两个不共线的向量$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3),\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$垂直（正交）。从普适性的角度来讲，我们还希望构造出来的向量没有任何“奇点”，为此，我们只用乘法构造。至于叉积的几何意义，则是后话，毕竟，先达到基本的目的再说。

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本节简单介绍用矩阵来描述旋转。在二维平面上，复数无疑是描述旋转的最佳工具；然而推广到三维空间中，却要动用到“四元数”了。为了证明四元数的相关结论，我们需要三维旋转的矩阵描述。最一般的旋转运动为：绕某一根轴旋转$\theta$角度。这样我们就需要三个参数来描述它：确定一根轴至少需要两个参数，确定角度需要一个参数。因此，如果要用“数”来描述三维空间的伸缩和旋转的话，“三元数”显然是不够的，完成这一目的至少需要四元数。这也从另外一个角度反映了三元数的不存在性。

矩阵方法
首先我们认识到，如果旋转轴是坐标轴之一，那么旋转矩阵将是最简单的，比如向量$\boldsymbol{x}=(x_0,y_0,z_0)^{T}$绕$z$轴逆时针旋转$\theta$角后的坐标就可以描述为
$$\begin{equation}
\boldsymbol{R}_{\theta}\boldsymbol{x}\end{equation}$$

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前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时，发现他更新了一篇很有趣的文章，叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》（果然，物理系的能接触到各种各样有趣的现象），里边谈到通过施加一个运动在单摆上面，倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣，遂也计算了一番。

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我们通常用一个波动方程来描述弦的振动，但是，弦的振动是二维的，也就是说，它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧，胡克系数为$k$，它的松弛状态是均匀的，线密度是$\rho$，长度是$l$，质量是$m$。

如何弹？
我们要分析这根弹簧的运动，即给定弹簧的初始状态，看弹簧的密度如何变化，这种情况类似于“横波”。但是，弹簧本身是连续介质，这是我们不熟悉的，但是我们可以将它离散化，将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

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开学已经是第二周了，我的《微分几何》也上课两周了，进度比较慢，现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$，将这个向量逆时针旋转90度之后，就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$，即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程，$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$，函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$，由于$\boldsymbol{t}^2=1$，对s求导得到
$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$

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在上一篇文章中，我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾，提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

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