科学空间|Scientific Spaces

由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。

例子2：

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$

这也是一种比较常见的类型，它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

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高考成绩出来了，不是很理想，不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里，我都会一直延续我的科学梦，醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了，所以高考的事情暂时也告一段落了，接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题，是和圆锥曲线有关的，它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个，抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦，求弦的中点轨迹，并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

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最近在浏览“数学研发论坛”的时候，发现了一系列不等式手册，感觉是挺宝贵的资源，就把它转载到这里来了。

当然，里边的内容难度不一，很多东西我自己也未必用得上，甚至不能弄懂，不过还是放在这里保存，并与大家分享。

原文链接：http://bbs.emath.ac.cn/thread-1549-1-1.html

文件包内容：

152个未解决的问题.pdf
HLODER 与 MINKOWSKI不等式.pdf
不等式常用证法50种.pdf
不等式基本性质.pdf
单调函数不等式.pdf
调和函数不等式.pdf
多边形与多面体不等式.pdf
反三角函数不等式.pdf
级数不等式.pdf
数论不等式.pdf

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分类：资源共享 标签：转载, 书籍 阅读全文 抢沙发

其实很早之前我就想学习一款数学软件的使用，以前很感兴趣的是mathematica，也玩弄过一阵子，但毕竟在高中没有多大需要，也就没有坚持下来。更重要的是，这些软件都是要收费的。上了大学后，听了师兄姐对数学建模的讲述，发现他们基本上也是用mathematica或者matlab的，但这两个软件都是要收费的，我不大想用破解版本。既然我都已经用上了ubuntu了，那么我就该好好利用它。据说命令跟matlab很相似的软件是scilab，还有octave，不同的是这些都是开源免费的。

出于熟悉代码操作和数学软件编程的目的，我选择了学习scilab。虽然网上说octave与matlab的相似程度更高，但是我感觉scilab比octave用的更广一些，所以就用它。所谓“一理通百理明”，先专心学好一个。

下面是我编写的第一个scialb程序，利用威尔逊方法来进行素性测试。这个代码的主要目的是练习条件语句和循环语句，以及一些输出输入的技巧而已。程序本身比较丑陋。

//我的第一个scilab程序
//完成于2012.09.27

label1=['p:';];  //定义标签
B=x_mdialog(['本程序使用威尔逊方法判断进行素数测试。';'请输入要判断的数'],label1,['127';]);  //输入框
p=evstr(B(1));  //提取输入框里边的数字进行赋值
i=1;
j=1;
q=p-1;
while i<q
    j=j*i;
    j=modulo(j,p);//这个是模函数。
    i=i+1;
end
if j==1
    messagebox(['这是一个素数';],['测试结果']);  //输出，其中后边的“测试结果”是输入框的标题
else
    messagebox(['这是一个合数';],['测试结果']);
end

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：

一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？

要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。

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这已经是去年写的稿件了，刊登在今年二月份的《天文爱好者》上，本文的标题还登载了该期天爱的封面上，当时甚是高兴呢！在此与大家分享、共勉。

相信许多天文爱好者都知道第一、第二、第三宇宙速度的概念，也会有不少的天爱自己动手计算过它们。我们道，只要发射速度达到7.9km/s，宇宙飞船就可以绕地球运行了；超过11.2km/s，就可以抛开地球，成为太阳系的一颗“人造行星”；再大一点，超过16.7km/s，那么就连太阳也甩掉了，直奔深空。

16.7km/s，咋看上去并不大，因为地球绕太阳运行的速度已经是30km/s了，这个速度在宇宙中实在是太普通了。但是对于我们目前的技术来说，它大得有点可怕。维基百科上的资料显示，史上最强劲的火箭土星五号在运送阿波罗11号到月球时，飞船最终也只能加速到接近逃逸速度，即11.2km/s，而事实上第三宇宙速度已经是是目前人造飞行器的速度极限了。可是没有速度，我们就不能发射探测器去探索深空，那些科幻小说中的“星际移民”，就永远只能停留在小说上了。

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在学习正项级数的时候，我们的数学分析教材提供了各种判别法，比如积分判别法、比较判别法，并由此衍生出了根植法、比值法等，在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度（强度）各不相同，一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来，基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了，它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛，反之发散。虽然我不能证明，但是我觉得以下结论是成立的：

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p，使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

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