科学空间|Scientific Spaces

我们知道，Scaled Dot-Product Attention的Scale因子是$\frac{1}{\sqrt{d}}$，其中$d$是$\boldsymbol{q},\boldsymbol{k}$的维度。这个Scale因子的一般解释是：如果不除以$\sqrt{d}$，那么初始的Attention就会很接近one hot分布，这会造成梯度消失，导致模型训练不起来。然而，可以证明的是，当Scale等于0时同样也会有梯度消失问题，这也就是说Scale太大太小都不行。

那么多大的Scale才适合呢？$\frac{1}{\sqrt{d}}$是最佳的Scale了吗？本文试图从梯度角度来回答这个问题。

已有结果

在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》中，我们已经推导过标准的Scale因子$\frac{1}{\sqrt{d}}$，推导的思路很简单，假设初始阶段$\boldsymbol{q},\boldsymbol{k}\in\mathbb{R}^d$都采样自“均值为0、方差为1”的分布，那么可以算得
\begin{equation}\mathbb{V}ar[\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{k}] = d\end{equation}

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Efficient Transformer，泛指一切致力于降低Transformer的二次复杂度的工作，开始特指针对Attention的改进，后来更一般的思路，如傅里叶变换、线性RNN等，也被归入这个范畴。不得不说，为了降低Transformer的二次复杂度，各路大牛可谓是“八仙过海，各显神通”，各种神奇的思路“百花齐放”，笔者也从中学习到了不少理论知识。然而，尽管Efficient Transformer在理论上是精彩的，但实际上该领域一直都是不愠不火的状态，并没有实际表现十分出色的模型，在LLM火爆的今天，甚至已经逐渐淡出了大家的视野，也淡出了笔者的兴趣范围。

不过，最近有一篇论文《Transformer-VQ: Linear-Time Transformers via Vector Quantization》，却让笔者为之拍案叫绝。作者非常高明地洞察到，只需要对标准Attention的Key做一下VQ（Vector Quantize），复杂度就会自动降低为线性！这种线性化思路保留了标准Attention的形式，是标准Attention到线性Attention的一个完美过渡，同时最大程度上保留了标准Attention的能力。

高效难题

说起来，本站也算是比较早关注Efficient Transformer相关工作了，最早可以追溯到2019年解读Sparse Transformer的一篇博客《为节约而生：从标准Attention到稀疏Attention》。此后，陆续写的关于Efficient Transformer的其他博文还有

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正如“XXX is all you need”一样，有不少论文都以“简单得令人尴尬”命名（An Embarrassingly Simple XXX），但在笔者看来，这些论文大多数都是噱头多于实力。不过，笔者最近阅读到的一篇论文，真的让人不由得发出“简单得令人尴尬”的感叹～

论文的标题是《Finite Scalar Quantization: VQ-VAE Made Simple》，顾名思义，这是一篇旨在用FSQ（Finite Scalar Quantization）简化VQ-VAE的工作。随着生成模型、多模态LLM的逐渐流行，VQ-VAE及其后续工作也作为“图像的Tokenizer”而“水涨船高”。然而，VQ-VAE的训练本身也存在一些问题，而FSQ这篇论文则声称通过更简单的“四舍五入”就可以达到同样的目的，并且有着效果更好、收敛更快、训练更稳的优点。

FSQ真有这么神奇？接下来我们一起学习一下。

VQ

首先，我们来了解一下“VQ”。VQ全称是“Vector Quantize”，可以翻译为“向量量子化”或者“向量量化”，是指将无限、连续的编码向量映射为有限、离散的整数数字的一种技术。如果我们将VQ应用在自编码器的中间层，那么可以在压缩输入大小的同时，让编码结果成为一个离散的整数序列。

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之前在《Transformer升级之路：3、从Performer到线性Attention》、《为什么现在的LLM都是Decoder-only的架构？》等文章中，我们从Attention矩阵的“秩”的角度探讨了Attention机制，并曾经判断线性Attention不如标准Attention的关键原因正是“低秩瓶颈”。然而，这一解释对于双向的Encoder模型或许成立，但却难以适用于单向的Decoder模型，因为Decoder的Attention矩阵的上三角部分是被mask掉的，留下的下三角矩阵必然是满秩的，而既然都是满秩了，那么低秩瓶颈问题似乎就不复存在了。

所以，“低秩瓶颈”并不能完全解释线性Attention的能力缺陷。在这篇文章中，笔者试图寻求另一个角度的解释。简单来说，与标准Attention相比，线性Attention更难“集中注意力”，从而难以准确地定位到关键token，这大概是它效果稍逊一筹的主要原因。

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写在开头

一直以来，笔者都有日刷Arxiv的习惯，以求尽可能跟上领域内最新成果，并告诫自己“不进则退”。之前也有不少读者问我是怎么刷Arxiv的、有什么辅助工具等，但事实上，在很长的时间里，笔者都是直接刷Arxiv官网，并且没有用任何算法过滤，都是自己一篇篇过的。这个过程很枯燥，但并非不能接受，之所以不用算法初筛，主要还是担心算法漏召，毕竟“刷”就是为了追新，一旦算法漏召就“错失先机”了。

自从Kimi Chat发布后，笔者就一直计划着写一个辅助网站结合Kimi来加速刷论文的过程。最近几个星期稍微闲了一点，于是在GPT4、Kimi的帮助下，初步写成了这个网站，并且经过几天的测试和优化后，已经逐步趋于稳定，于是正式邀请读者试用。

Cool Papers：https://papers.cool

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很多时候我们将深度学习模型的训练过程戏称为“炼丹”，因为整个过程跟古代的炼丹术一样，看上去有一定的科学依据，但整体却给人一种“玄之又玄”的感觉。尽管本站之前也关注过一些优化器相关的工作，甚至也写过《从动力学角度看优化算法》系列，但都是比较表面的介绍，并没有涉及到更深入的理论。为了让以后的炼丹更科学一些，笔者决定去补习一些优化相关的理论结果，争取让炼丹之路多点理论支撑。

在本文中，我们将学习随机梯度下降（SGD）的一个非常基础的收敛结论。虽然现在看来，该结论显得很粗糙且不实用，但它是优化器收敛性证明的一次非常重要的尝试，特别是它考虑了我们实际使用的是随机梯度下降（SGD）而不是全量梯度下降（GD）这一特性，使得结论更加具有参考意义。

问题设置

设损失函数是$L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\theta})$，其实$\boldsymbol{x}$是训练集，而$\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{R}^d$是训练参数。受限于算力，我们通常只能执行随机梯度下降（SGD），即每步只能采样一个训练子集来计算损失函数并更新参数，假设采样是独立同分布的，第$t$步采样到的子集为$\boldsymbol{x}_t$，那么我们可以合理地认为实际优化的最终目标是
\begin{equation}L(\boldsymbol{\theta}) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T L(\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{\theta})\label{eq:loss}\end{equation}

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盘点主流的图像扩散模型作品，我们会发现一个特点：当前多数做高分辨率图像生成（下面简称“大图生成”）的工作，都是先通过Encoder变换到Latent空间进行的（即LDM，Latent Diffusion Model），直接在原始Pixel空间训练的扩散模型，大多数分辨率都不超过64*64，而恰好，LDM通过AutoEncoder变换后的Latent，大小通常也不超过64*64。这就自然引出了一系列问题：扩散模型是不是对于高分辨率生成存在固有困难？能否在Pixel空间直接生成高分辨率图像？

论文《Simple diffusion: End-to-end diffusion for high resolution images》尝试回答了这个问题，它通过“信噪比”分析了大图生成的困难，并以此来优化noise schdule，同时提出只需在最低分辨率feature上对架构进行scale up、多尺度Loss等技巧来保证训练效率和效果，这些改动使得原论文成功在Pixel空间上训练了分辨率高达1024*1024的图像扩散模型。

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我们知道，在RoPE中频率的计算公式为$\theta_i = b^{-2i/d}$，底数$b$默认值为10000。目前Long Context的主流做法之一是，先在$b=10000$上用短文本预训练，然后调大$b$并在长文本微调，其出发点是《Transformer升级之路：10、RoPE是一种β进制编码》里介绍的NTK-RoPE，它本身有较好长度外推性，换用更大的$b$再微调相比不加改动的微调，起始损失更小，收敛也更快。该过程给人的感觉是：调大$b$完全是因为“先短后长”的训练策略，如果一直都用长文本训练似乎就没必要调大$b$了？

上周的论文《Base of RoPE Bounds Context Length》试图回答这个问题，它基于一个期望性质研究了$b$的下界，由此指出更大的训练长度本身就应该选择更大的底数，与训练策略无关。整个分析思路颇有启发性，接下来我们一起来品鉴一番。

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