欣赏一张图片——I Heart Math
By 苏剑林 | 2010-10-07 | 31557位读者 | 引用以自然数幂为系数的幂级数
By 苏剑林 | 2010-10-16 | 30093位读者 | 引用$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛,我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧,所以我偏爱通用的方法,哪怕过程相对麻烦。因此,我对数学归纳法(递推法)和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系,而不用具体分析,最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应,巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性,只需要知道它对应着哪一个“母函数”(母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$)。显然,这两种方法的最终,都是把问题归结为代数问题。
科学空间:2010年11月重要天象
By 苏剑林 | 2010-10-23 | 20536位读者 | 引用未来的天地枢纽——太空天梯
By 苏剑林 | 2010-10-22 | 22618位读者 | 引用扬帆——在宇宙的海洋中航行
By 苏剑林 | 2010-10-24 | 20992位读者 | 引用太阳帆技术的粗浅分析
By 苏剑林 | 2010-10-24 | 34582位读者 | 引用11月03日美国“发现号”航天飞机“绝唱”
By 苏剑林 | 2010-10-30 | 17238位读者 | 引用这个星期对微分方程的认识
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 33246位读者 | 引用这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。
一、微分方程的本质
很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成
$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$
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