科学空间|Scientific Spaces

作为LLM的主流模型架构，Transformer在各类任务上的总体表现都出色，大多数情况下，Transformer的槽点只是它的平方复杂度，而不是效果——除了一个名为Long Range Arena（下面简称LRA）的Benchmark。一直以来，LRA一直是线性RNN类模型的“主场”，与之相比Transformer在上面有明显的差距，以至于让人怀疑这是否就是Transformer的固有缺陷。

不过，近日论文《Never Train from Scratch: Fair Comparison of Long-Sequence Models Requires Data-Driven Priors》将这“缺失的一环”给补齐了。论文指出，缺乏预训练是Transformer在LRA上效果较差的主要原因，而所有架构都可以通过预训练获得一定的提升，Transformer的提升则更为明显。

旧背景

Long Range Arena（LRA）是长序列建模的一个Benchmark，提出自论文《Long Range Arena: A Benchmark for Efficient Transformers》，从论文标题就可以看出，LRA是为了测试各种Efficient版的Transformer而构建的，里边包含了多种类型的数据，序列长度从1k到16k不等，此前不少Efficient Transformer的工作也都在LRA进行了测试。虽然在代表性方面有些争议，但LRA依然不失为一个测试Efficient Transformer的长序列能力的经典Benchmark。

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很多时候我们将深度学习模型的训练过程戏称为“炼丹”，因为整个过程跟古代的炼丹术一样，看上去有一定的科学依据，但整体却给人一种“玄之又玄”的感觉。尽管本站之前也关注过一些优化器相关的工作，甚至也写过《从动力学角度看优化算法》系列，但都是比较表面的介绍，并没有涉及到更深入的理论。为了让以后的炼丹更科学一些，笔者决定去补习一些优化相关的理论结果，争取让炼丹之路多点理论支撑。

在本文中，我们将学习随机梯度下降（SGD）的一个非常基础的收敛结论。虽然现在看来，该结论显得很粗糙且不实用，但它是优化器收敛性证明的一次非常重要的尝试，特别是它考虑了我们实际使用的是随机梯度下降（SGD）而不是全量梯度下降（GD）这一特性，使得结论更加具有参考意义。

问题设置

设损失函数是$L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\theta})$，其实$\boldsymbol{x}$是训练集，而$\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{R}^d$是训练参数。受限于算力，我们通常只能执行随机梯度下降（SGD），即每步只能采样一个训练子集来计算损失函数并更新参数，假设采样是独立同分布的，第$t$步采样到的子集为$\boldsymbol{x}_t$，那么我们可以合理地认为实际优化的最终目标是
\begin{equation}L(\boldsymbol{\theta}) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T L(\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{\theta})\label{eq:loss}\end{equation}

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我们知道，在RoPE中频率的计算公式为$\theta_i = b^{-2i/d}$，底数$b$默认值为10000。目前Long Context的主流做法之一是，先在$b=10000$上用短文本预训练，然后调大$b$并在长文本微调，其出发点是《Transformer升级之路：10、RoPE是一种β进制编码》里介绍的NTK-RoPE，它本身有较好长度外推性，换用更大的$b$再微调相比不加改动的微调，起始损失更小，收敛也更快。该过程给人的感觉是：调大$b$完全是因为“先短后长”的训练策略，如果一直都用长文本训练似乎就没必要调大$b$了？

上周的论文《Base of RoPE Bounds Context Length》试图回答这个问题，它基于一个期望性质研究了$b$的下界，由此指出更大的训练长度本身就应该选择更大的底数，与训练策略无关。整个分析思路颇有启发性，接下来我们一起来品鉴一番。

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不论是在基础的分类任务中，还是如今无处不在的注意力机制中，概率分布的构建都是一个关键步骤。具体来说，就是将一个$n$维的任意向量，转换为一个$n$元的离散型概率分布。众所周知，这个问题的标准答案是Softmax，它是指数归一化的形式，相对来说比较简单直观，同时也伴有很多优良性质，从而成为大部分场景下的“标配”。

尽管如此，Softmax在某些场景下也有一些不如人意之处，比如不够稀疏、无法绝对等于零等，因此很多替代品也应运而生。在这篇文章中，我们将简单总结一下Softmax的相关性质，并盘点和对比一下它的部分替代方案。

Softmax回顾

首先引入一些通用记号：$\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$是需要转为概率分布的$n$维向量，它的分量可正可负，也没有限定的上下界。$\Delta^{n-1}$定义为全体$n$元离散概率分布的集合，即
\begin{equation}\Delta^{n-1} = \left\{\boldsymbol{p}=(p_1,p_2,\cdots,p_n)\left|\, p_1,p_2,\cdots,p_n\geq 0,\sum_{i=1}^n p_i = 1\right.\right\}\end{equation}
之所以标注$n-1$而不是$n$，是因为约束$\sum\limits_{i=1}^n p_i = 1$定义了$n$维空间中的一个$n-1$维子平面，再加上$p_i\geq 0$的约束，$(p_1,p_2,\cdots,p_n)$的集合就只是该平面的一个子集，即实际维度只有$n-1$。

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前面我们用两篇文章《重温SSM（一）：线性系统和HiPPO矩阵》和《重温SSM（二）：HiPPO的一些遗留问题》介绍了HiPPO的思想和推导——通过正交函数基对持续更新的函数进行实时逼近，其拟合系数的动力学正好可以表示为一个线性ODE系统，并且对于特定的基底以及逼近方式，我们可以将线性系统的关键矩阵精确地算出来。此外，我们还讨论了HiPPO的离散化和相关性质等问题，这些内容奠定了后续的SSM工作的理论基础。

接下来，我们将介绍HiPPO的后续应用篇《Efficiently Modeling Long Sequences with Structured State Spaces》（简称S4），它利用HiPPO的推导结果作为序列建模的基本工具，并从新的视角探讨了高效的计算和训练方式，最后在不少长序列建模任务上验证了它的有效性，可谓SSM乃至RNN复兴的代表作之一。

基本框架

S4使用的序列建模框架，是如下的线性ODE系统：
\begin{equation}\begin{aligned}
x'(t) =&\, A x(t) + B u(t) \\
y(t) =&\, C^* x(t) + D u(t)
\end{aligned}\end{equation}

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上一篇文章中我们介绍了“伪逆”，它关系到给定矩阵$\boldsymbol{M}$和$\boldsymbol{A}$（或$\boldsymbol{B}$）时优化目标$\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2$的最优解。这篇文章我们来关注$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$都不给出时的最优解，即
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}}\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-ab}\end{equation}
其中$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times r}, \boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{r\times m}, \boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m},r < \min(n,m)$。说白了，这就是要寻找矩阵$\boldsymbol{M}$的“最优$r$秩近似（秩不超过$r$的最优近似）”。而要解决这个问题，就需要请出大名鼎鼎的“SVD（奇异值分解）”了。虽然本系列把伪逆作为开篇，但它的“名声”远不如SVD，听过甚至用过SVD但没听说过伪逆的应该大有人在，包括笔者也是先了解SVD后才看到伪逆。

接下来，我们将围绕着矩阵的最优低秩近似来展开介绍SVD。

结论初探

对于任意矩阵$\boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m}$，都可以找到如下形式的奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）：
\begin{equation}\boldsymbol{M} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{\top}\end{equation}

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继续回到我们的扩散系列。在《生成扩散模型漫谈（二十五）：基于恒等式的蒸馏（上）》中，我们介绍了SiD（Score identity Distillation），这是一种不需要真实数据、也不需要从教师模型采样的扩散模型蒸馏方案，其形式类似GAN，但有着比GAN更好的训练稳定性。

SiD的核心是通过恒等变换来为学生模型构建更好的损失函数，这一点是开创性的，同时也遗留了一些问题。比如，SiD对损失函数的恒等变换是不完全的，如果完全变换会如何？如何从理论上解释SiD引入的$\lambda$的必要性？上个月放出的《Flow Generator Matching》（简称FGM）成功从更本质的梯度角度解释了$\lambda=0.5$的选择，而受到FGM启发，笔者则进一步发现了$\lambda = 1$的一种解释。

接下来我们将详细介绍SiD的上述理论进展。

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中山大学基础数学研究生，本科为华南师范大学。93年从奥尔特星云移民地球，因忘记回家路线，遂仰望星空，希望找到时空之路。同时兼爱各种科学，热衷钻牛角尖，因此经常碰壁，但偶然把牛角钻穿，也乐在其中。偏爱物理、天文、计算机，喜欢思考，虽擅长理性分析，但也容易感情用事，崇拜Feynman。爱好阅读，没事偷懒玩玩象棋，闲时爱好进入厨房做几道小菜，偶尔也开开数据“挖掘机”。明明要学基础数学，偏偏不务正业，沉溺神经网络，妄想人工智能，曾未在ACL、AAAI、COLING等会议上发表一篇文章。近期还挣扎在NLP大坑，在科学空间（https://kexue.fm）期待大家的拯救。

历史内容

华南师范大学数学系学生。93年从奥尔特星云移民地球，因忘记回家路线，遂仰望星空，希望找到时空之路。同时兼爱各种科学，热衷钻牛角尖，因此经常碰壁，但偶然把牛角钻穿，也乐在其中。偏爱物理、天文，喜欢思考，虽擅长理性分析，但也容易感情用事，崇拜费曼。长期阅读《天文爱好者》和《环球科学》，没事偷懒玩玩象棋，闲时爱好进入厨房做几道小菜，偶尔也当当电工。近期主要学习理论物理，在科学空间期待大家的指教。

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站长：苏剑林
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网站历史

2009.03.01 网站初步建立，刚开始的时候使用的是BoBlog以及宇宙驿站的空间，内容定位：科学转载。

2009.03.28 开始进行大规模推广，访问量开始提高

2009.03-05 期间进行过多次改变，特别是Blog程序的转换，内容上的改革等

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