6
Nov
警察捉贼,追牛问题,导弹跟踪
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 56614位读者 | 引用王二小的牛跑了，当他发现时，牛在他正南方300米。且一直向正西方向匀速的跑，王二小立即追牛，他不是朝着一个固定的方向，而是每时每刻都朝着牛的方向跑，且速度是牛速度的4/3倍。当他追上牛时王二小共跑了多远？
问题分析
米拉斯反潜导弹
咋看起来，追牛和导弹是风牛马不相及的两件事：一个是生活小事，一个是物理问题，怎么能够扯到一块呢？
回想一下平时警察抓小偷的过程。警察不是物理学家，不会也可不能先去研究小偷的逃走路线函数，然后设计最小追赶时间的路程吧？那么，在不能预知小偷逃跑路线的前提下，警察要怎样捉小偷呢？很简单，盯死他！是的，只要你以更快的速度，一直朝着他跑，总能够追到的。继续联想下：要想用导弹跟踪摧毁一首敌舰，不也是只能够采用这种方式吗？回看文章开始的“追牛问题”，本质上不是一样的吗？以下是上海交大提出的导弹跟踪问题：
10
Dec
《自然极值》系列——6.最速降线的解答
By 苏剑林 | 2010-12-10 | 66700位读者 | 引用通过上一小节的小故事，我们已经能够基本了解最速降线的内容了，它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数，由于函数是未知的，因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到，伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案，那么我们现在就再次回顾历史，追寻伯努利的答案，并且寻找进一步的应用。
最速降线-1
为了计算方便，我们把最速降线倒过来，把初始点设置在原点。在下落过程中，重力势能转化为动能，因此，在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$，由于纯粹为了探讨曲线形状，所以我们使g=0.5，即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$，所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$，于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。
9
Jan
不可能事件——一道经典电磁感应题的错误
By 苏剑林 | 2011-01-09 | 45049位读者 | 引用
12
Mar
历史上的谜案——刘徽有没有使用外推法？
By 苏剑林 | 2011-03-12 | 31923位读者 | 引用
刘徽
话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹，在今天已被不少学生知晓；虽不能说家喻户晓，但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙，刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的；不一样的是，刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积，而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢？其实阿基米德的方法应该更快一点，阿基米德算到正n边形所得到的值，相当于刘徽算到正2n边形了。
在此我们不再对两者的计算方法进行区分，因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法，“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然，刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式（现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开，而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值），甚至在他那个时代就连笔墨也没有，据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时，唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力，利用递推的方法逐步求圆周率。
淡白口蘑
达尔文的进化学说告诉我们，自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种，赋予它们更高的生存几率，久而久之，这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”，进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑，经过长期的选择，优良的形状会被累积下来，换句话讲，这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态（又是一个极值问题了）。好，现在我们来考虑蘑菇。
蘑菇是一种真菌生物，一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分，因此，它努力地调整自身的形状，使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的，那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题，理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢？聪明的你是否想到了是一个球体（的一部分）呢？
我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。
看完了“双不动中心”问题，我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题，在一个固定质点的引力吸引的基础上，增加一个恒力作用，研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了，至少运动方程也显得更简单：
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是，这个问题本质上和“双不动中心”是一样的，它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似，下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分：
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
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