科学空间|Scientific Spaces

本博客的文章其实一定程度上反映了我在该时期的学习研究，所以我觉得写blog是一件很惬意的事情，它记录着我的成长历程。读者可能留意到，我上学期说对量子力学很感兴趣，也算是入了一点点门。这学期开学初表示对摄动理论方面的知识很感兴趣，也研究了一两个星期。再后来就将学习重点放在了相对论上面了。现在呢？我在学习朗道的《场论》，主要先学习电磁场（电动力学）。

有的读者可能比较无语：你怎么变来变去，学习不是贵在精而不在多吗？

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昨天在上“科学计算软件”课时，讲到了一个“抢15”游戏（Pick15），就是在1~9这9个数字中，双方轮流选一个数字，不可重复，谁的数字中有三个数字的和为15的，谁就是赢家。

这是个简单的游戏，属于博弈论范畴。在博弈论中有一个著名的“策梅洛定理”（Zermelo's theorem），它指出在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。比如中国象棋就属于这一类游戏，它告诉我们对于其中一方必有一种必不败策略（有可能和棋，有可能胜，反正不会输）。当然，策梅洛定理只是告诉我们其存在性，并没有告诉我们怎么发现这个策略，甚至连哪一方有这种最优策略都没有给出判别方法。这是幸运的，因为如果真有一天发现了这种策略，那么像象棋这类博弈就失去了意义了。

上述的抢15游戏当然也属于这类游戏。不同于象棋的千变万化，它的变化比较简单，而且很容易看出它对先手有着明显的优势。下面我们来分析一下。

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我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论，不得不说，矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天，在讲述相对论（包括电动力学、广义相对论）的书籍里边，在数学形式上取而代之了张量这一工具，这实际上是对矩阵的一个推广（之前已经提到过，二阶张量相当于矩阵）。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论，包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速$c=1$。

同时的相对性

在同一时空中，采取两个时空坐标进行洛伦兹变换，再作差，我们得到：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right]\end{equation}

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第四个数字也完成了测试，这次的结果依然是否定的：$2^{29360741}-1$不是素数！
大概半年内不会有新的结果了，呵呵。

[Comm thread Apr 15 19:04] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29360741 is not prime. Res64: 622E909193F04555. We4: CA6D304A,26268761,00000000, AID:
[Comm thread Apr 15 19:04]
[Comm thread Apr 15 19:05] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 15 19:05] LL test successfully completes double-check of M29360741
[Comm thread Apr 15 19:05] CPU credit is 29.1976 GHz-days.
[Comm thread Apr 15 19:05] Done communicating with server.

这是第三个结果，估计明天会有第四个结果。运行完这四个后就让电脑好好休息一下了，呵呵。
同样，$2^{29365451}-1$也不是素数！

[Comm thread Apr 14 14:51] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365451 is not prime. Res64: C3207F669EEAE07E. We4: 46622147,3026845,00000000, AID:
[Comm thread Apr 14 14:51]
[Comm thread Apr 14 14:51] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 14 14:51] LL test successfully completes double-check of M29365451
[Comm thread Apr 14 14:51] CPU credit is 29.2023 GHz-days.
[Comm thread Apr 14 14:51] Done communicating with server.

自从了解了费曼积分法之后，我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分，但一直无果。在《数学桥》里边，作者是通过将其转变为二重积分来解决的，简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力，我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分，眼睛不禁为之一亮，不过这属于积分变换内容，属于“积分符号内取积分”的技巧，在此不作讨论。今天在网上查找资料时，在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中，看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法，特与大家分享。

从“事后分析”来看，高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量，一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少，可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的，所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

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很早以前我就对这个问题感兴趣了，但是一直搁置着，没有怎么研究。最近在阅读《引力与时空》的“潮汐力”那一节时重新回到了这个问题上，决定写点什么东西。在这里不深究流体静力平衡的定义，顾名思义地理解，它就是流体在某个特定的力场下所达到的平衡状态。流体静力学告诉我们：

达到流体静力平衡时，流体的面必定是一个等势面。

这是为什么呢？我们从数学的角度来简单分析一下：只考虑二维情况，假如等势面方程是$U(x,y)=C$，那么两边微分就有
$$0=dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})\cdot (dx,dy)$$

这意味着向量$(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})$和向量$(dx,dy)$是垂直的，前者便是力的函数，后者就是一个切向量（三维就是一个切平面）。也就是说合外力必然和流体面垂直，这样才能提供一个相等的方向相反的内力让整个结构体系处于平衡状态！

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第二个数字也测试完了，$2^{29365247}-1$也不是一个素数。继续努力！

[Comm thread Apr 9 12:22] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365247 is not prime. Res64: AFA532C54A91F89B. We4: D8A82DF8,3429750,00000000, AID: C
[Comm thread Apr 9 12:22]
[Comm thread Apr 9 12:22] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 9 12:22] LL test successfully completes double-check of M29365247
[Comm thread Apr 9 12:22] CPU credit is 29.2021 GHz-days.
[Comm thread Apr 9 12:22] Done communicating with server.