科学空间|Scientific Spaces

如果将训练模型比喻为“炼丹”，那么“炼丹炉”显然就是优化器了。据传AdamW优化器是当前训练神经网络最快的方案，这一点笔者也没有一一对比过，具体情况如何不得而知，不过目前做预训练时多数都用AdamW或其变种LAMB倒是真的。然而，正如有了炼丹炉也未必能炼出好丹，即便我们确定了选择AdamW优化器，依然有很多问题还没有确定的答案，比如：

1、学习率如何适应不同初始化和参数化？

2、权重衰减率该怎么调？

3、学习率应该用什么变化策略？

4、能不能降低优化器的显存占用？

尽管在实际应用时，我们大多数情况下都可以直接套用前人已经调好的参数和策略，但缺乏比较系统的调参指引，始终会让我们在“炼丹”之时感觉没有底气。在这篇文章中，我们基于Google最近提出的Amos优化器的思路，给出一些参考结果。

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在《CoSENT（一）：比Sentence-BERT更有效的句向量方案》中，笔者提出了名为“CoSENT”的有监督句向量方案，由于它是直接训练cos相似度的，跟评测目标更相关，因此通常能有着比Sentence-BERT更好的效果以及更快的收敛速度。在《CoSENT（二）：特征式匹配与交互式匹配有多大差距？》中我们还比较过它跟交互式相似度模型的差异，显示它在某些任务上的效果还能直逼交互式相似度模型。

然而，当时笔者是一心想找一个更接近评测目标的Sentence-BERT替代品，所以结果都是面向有监督句向量的，即特征式相似度模型。最近笔者突然反应过来，CoSENT其实也能作为交互式相似度模型的损失函数。那么它跟标准选择交叉熵相比孰优孰劣呢？本文来补充这部分实验。

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文本相似度有“交互式”和“特征式”两种做法，想必很多读者对此已经不陌生，之前笔者也写过一篇文章《CoSENT（二）：特征式匹配与交互式匹配有多大差距？》来对比两者的效果。总的来说，交互式相似度效果通常会好些，但直接用它来做大规模检索是不现实的，而特征式相似度则有着更快的检索速度，以及稍逊一筹的效果。

因此，如何在保证交互式相似度效果的前提下提高它的检索速度，是学术界一直都有在研究的课题。近日，论文《Efficient Nearest Neighbor Search for Cross-Encoder Models using Matrix Factorization》提出了一份新的答卷：CUR分解。

CUR分解示意图

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这几天网上热传了一道“四鸭共半圆”题目：

四鸭共半圆问题

可能有不少读者看到后也尝试做过，就连李永乐老师也专门开了一节课讲这道题（参考《圆形水池四只鸭子在同一个半圆里，概率有多大？》）。就这道题目本身而言，答案并不算困难，可以有很多方法算出来。稍微有难度的是它的推广版本，也就是本文标题所描述的，将鸭子的数目一般化为$n$只，将半圆一般化为圆心角为$\theta$的扇形。更有趣的是，当$\theta \leq \pi$时，依然有比较初等的解法，但是当$\theta > \pi$后，复杂度开始“剧增”...

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对于很多读者来说，生成扩散模型可能是他们遇到的第一个能够将如此多的数学工具用到深度学习上的模型。在这个系列文章中，我们已经展示了扩散模型与数学分析、概率统计、常微分方程、随机微分方程乃至偏微分方程等内容的深刻联系，可以说，即便是做数学物理方程的纯理论研究的同学，大概率也可以在扩散模型中找到自己的用武之地。

在这篇文章中，我们再介绍一个同样与数学物理有深刻联系的扩散模型——由“万有引力定律”启发的ODE式扩散模型，出自论文《Poisson Flow Generative Models》（简称PFGM），它给出了一个构建ODE式扩散模型的全新视角。

万有引力

中学时期我们就学过万有引力定律，大概的描述方式是：

两个质点彼此之间相互吸引的作用力，是与它们的质量乘积成正比，并与它们之间的距离成平方反比。

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昨天在这个公众号文章看到了一道据说答案有争议的“十字架”组合计数问题：

一个正方形中，如果四条边有两条是$i$色，另外两条是其他两种不同颜色，那么称这个正方形是“$i$色主导”的。考虑如下由16条线段、5个正方形组成的“十字架”图形，每条边染上红、黄、蓝三色之一，使得横向和竖向三个正方形的主导色均不相同，问有多少种不同的染色方法。

“十字架”示意图

链接的文章有两个答案：吴康老师的54432，以及王慧兴老师的27216。本文先通过编程确认王慧兴老师的27216是正确答案，然后给出自己的理论分析过程。

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在《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》中，我们从SDE的角度理解了生成扩散模型，然后在《生成扩散模型漫谈（六）：一般框架之ODE篇》中，我们知道SDE对应的扩散模型中，实际上隐含了一个ODE模型。无独有偶，在《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》中我们也知道原本随机采样的DDPM模型中，也隐含了一个确定性的采样过程DDIM，它的连续极限也是一个ODE。

细想上述过程，可以发现不管是“DDPM→DDIM”还是“SDE→ODE”，都是从随机采样模型过渡到确定性模型，而如果我们一开始的目标就是ODE，那么该过程未免显得有点“迂回”了。在本文中，笔者尝试给出ODE扩散模型的直接推导，并揭示了它与雅可比行列式、热传导方程等内容的联系。

微分方程

像GAN这样的生成模型，它本质上是希望找到一个确定性变换，能将从简单分布（如标准正态分布）采样出来的随机变量，变换为特定数据分布的样本。flow模型也是生成模型之一，它的思路是反过来，先找到一个能将数据分布变换简单分布的可逆变换，再求解相应的逆变换来得到一个生成模型。

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在《生成扩散模型漫谈（十）：统一扩散模型（理论篇）》中，笔者自称构建了一个统一的模型框架（Unified Diffusion Model，UDM），它允许更一般的扩散方式和数据类型。那么UDM框架究竟能否实现如期目的呢？本文通过一些具体例子来演示其一般性。

框架回顾

首先，UDM通过选择噪声分布$q(\boldsymbol{\varepsilon})$和变换$\boldsymbol{\mathcal{F}}$来构建前向过程
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{\mathcal{F}}_t(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{\varepsilon}),\quad \boldsymbol{\varepsilon}\sim q(\boldsymbol{\varepsilon})\end{equation}
然后，通过如下的分解来实现反向过程$\boldsymbol{x}_{t-1}\sim p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$的采样
\begin{equation}\hat{\boldsymbol{x}}_0\sim p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)\quad \& \quad \boldsymbol{x}_{t-1}\sim p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\hat{\boldsymbol{x}}_0)\end{equation}
其中$p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$就是用$\boldsymbol{x}_t$预估$\boldsymbol{x}_0$的概率，一般用简单分布$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$来近似建模，训练目标基本上就是$-\log q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$或其简单变体。当$\boldsymbol{x}_0$是连续型数据时，$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$一般就取条件正态分布；当$\boldsymbol{x}_0$是离散型数据时，$q(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)$可以选择自回归模型或者非自回归模型。

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