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科学空间致力于知识分享，所以欢迎您转载本站文章，但转载本站内容必须遵循 署名-非商业用途-保持一致 的创作共用协议。 昨天在研究一个最优化问题时，遇到了一个这样的积分：
$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta$$
然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲，这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$，其中n是一个整数。
首先我们来解决n=1的情况，我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$，这是一个基本的结果。
如果n是大于1的正整数，那么可以用递推的方法来搞定：
20
Jul
[更正]一道经典不等式的美妙证明
By 苏剑林 | 2011-07-20 | 23983位读者 | 引用在数学竞赛中，很多题目都专门设置了一种技巧，这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的，换句话说，难以“顺理成章”地想下去，或者是说方法不成系统的，这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然，另一方面，个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力，尤其是在抽象思维以及几何想象能力等，因此做一些这样的题目也会有好处的。
下面就是一道很经典的竞赛题，它是在韩国举行的第42届IMO中的题目：
设a,b,c都是正实数，求证：
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$
19
Jul
一道整数边三角形题目
By 苏剑林 | 2011-07-19 | 21916位读者 | 引用
18
Jul
记2011北京大学天文夏令营
By 苏剑林 | 2011-07-18 | 29344位读者 | 引用
10
Jul
明天就出发去夏令营了
By 苏剑林 | 2011-07-10 | 26925位读者 | 引用明天就要飞去北京参加北京大学天文夏令营了。
参加夏令营本来就是喜事，我满怀着喜悦。然而，喜悦之中却有点伤感。伤感的不是夏令营，而是一种别绪，一种难以看到想见的人的无奈。不管怎样，带着想念，好好参与这次的活动，希望能够收获更多的阅历和经验，同时也是一次对许多人梦寐以求的高校——北京大学的旅游和认识，也算是为明年的高考埋下美丽的伏笔
另一方面，暑假的到来意味着高二的结束，其实，当高考结束的那一天起，我们已经是“准高三”学生了。不少人讨论过高三怎么过，也有不少师兄师姐们向我们描述过高三的死板生活，而我的答案只有五个字：高三，好好活！
8
Jul
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