科学空间|Scientific Spaces

刘徽

话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹，在今天已被不少学生知晓；虽不能说家喻户晓，但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙，刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的；不一样的是，刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积，而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢？其实阿基米德的方法应该更快一点，阿基米德算到正n边形所得到的值，相当于刘徽算到正2n边形了。

在此我们不再对两者的计算方法进行区分，因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法，“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然，刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式（现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开，而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值），甚至在他那个时代就连笔墨也没有，据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时，唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力，利用递推的方法逐步求圆周率。

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向量有两个乘法：点乘和叉乘，其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下，用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便（其实它就是在实际问题中抽象出来的）。不过，也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是，为了整合两者的巧妙之处，有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去（为什么用“退化”？因为向量是多维的，可以是3维、4维等，而复数运算只是二维的，很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^）

运算法则：

点乘：
总法则：$Z_1 \cdot Z_2=|Z_1||Z_2|\cos(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\cdot i=0 \\ i\cdot i=1 \\ \exp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=\cos(\varphi -\theta) \\ iexp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=-\sin(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \cdot Z_2=Z_1 \bar{Z}_2+Z_2 \bar{Z}_1\end{aligned}$$

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本创意装置来自牧夫天文论坛的zhangyf1997同好。

三连杆装置——“鱼”

结构：
1、A、B为两定点，可看作有刚性杆连接；
2、AC为动力杆，绕点A转动；
3、BD为从动杆，CD为连杆。

长度数据：
1、CD=AB=$\sqrt{2}$；
2、AC=BD=1。
3、E是CD中点

求：E点的轨迹方程（即图中黑色那条，很有趣吧？）

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《非线性泛函分析及其应用,第3卷,变分法及最优化》

本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章，估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年，想必大家一定收获匪浅，BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声，BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐，在科学的道路上更快速地前行。

在本文，BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值（求导）和泛函数极值（变分）进行一些简略的分析。

一、函数求极值

对于一个函数$y=f(x)$，设想它在$x=x_0$处取到最大值，那么显然对于很小的增量$\Delta x$，有
$$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)\tag{3}$$根据泰勒级数，我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)

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约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。

有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即：

固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，求项链的曲线方程.

吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线，猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案，所用方法是诞生不久的微积分。

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通过上一小节的小故事，我们已经能够基本了解最速降线的内容了，它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数，由于函数是未知的，因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到，伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案，那么我们现在就再次回顾历史，追寻伯努利的答案，并且寻找进一步的应用。

最速降线-1

为了计算方便，我们把最速降线倒过来，把初始点设置在原点。在下落过程中，重力势能转化为动能，因此，在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$，由于纯粹为了探讨曲线形状，所以我们使g=0.5，即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$，所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$，于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。

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如果说前面关于这个系列的内容还不能使得读者您感到痛快，那么接下来要讲述的最速降线和悬链线问题也许能够满足你的需要。不过在进入对最速降线问题的理论探讨之前，我们先来讲述一个发生在17世纪的激动人心的数学竞赛的故事。我相信，每一个热爱数学和物理的朋友，都将会为其所振奋，为其所感动。里边渗透的，不仅仅是一次学术的竞争，更是一代又一代的人对真理的追求与探路的不懈精神。

（以下内容来源于网络，科学空间整理）

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题── “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。

Brachistochrone

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通过上面众多的文字描述，也许你还不大了解这两个原理有何美妙之处，也或者你已经迫不及待地想去应用它们却不知思路。为了不至于让大家产生“审美疲劳”，接下来我们将试图利用这两个原理对费马点问题进行探讨，看看原理究竟是怎么发挥作用的。运用的关键在于：如何通过适当的变换将其与光学或势能联系起来。

费马点问题

传统费马点问题是指在ΔABC中寻找点P，使得$AP+BP+CP$最小的问题；而广义的费马点则改成使$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。这是很具有现实意义的，是“在三个村庄之间建立一个中转站，如何才能使运送成为最低”之类的最优问题。我们将从光学和势能两个角度对这个问题进行探讨（也许有的读者已经阅读过了利用重力的原理来求解费马点，但是我想光学的方法依然会是你眼前一亮的。）

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