数学基本技艺之23、24(下)
By 苏剑林 | 2013-09-27 | 24599位读者 | 引用在上一篇文章中我们得到了第23题的解,本来想接着类似地求第24题,但是看着23题的答案,又好像发现了一些新的东西,故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后,得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果,遂另开一篇新文章,与大家分享。
一、特殊拟齐次微分方程的通解
在上一篇文章中,我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解:
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式:
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$
数学基本技艺之23、24(上)
By 苏剑林 | 2013-09-26 | 16500位读者 | 引用数学基本技艺(A Mathematical Trivium)
By 苏剑林 | 2013-09-26 | 24403位读者 | 引用这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年,在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章,英文名叫 A mathematical trivium,这篇文章是有个前言的,用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂,尤其是物理系的。文后附了100道数学题,号称是物理系学生的数学底线。
这是给物理系出的数学题,所以和一般的数学竞赛题目不同,没太多证明题,主要就是计算和解模型,而且还有不少近似估算的,带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线,但即使对于数学系的学生来说,这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案,但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了,或者刚好碰到类似的研究,我也会把题目做做,与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。
一个人的数学建模:碎纸复原
By 苏剑林 | 2013-09-22 | 39395位读者 | 引用[欧拉数学]找出严谨的答案
By 苏剑林 | 2013-09-09 | 19767位读者 | 引用在之前的一些文章中,我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲,欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法,这些方法能够推导出一些漂亮的结果,而方法本身却并不严密。然而,在很多情况下,严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题,而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。
数列${a_n}$是递增的正数列,求证:$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。
据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则,我也没有仔细去看,我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。
变分法的一个技巧及其“误用”
By 苏剑林 | 2013-07-30 | 37903位读者 | 引用不可否认,变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具,它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个,而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地,并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂,甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此,一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧,来让某些变分问题得到一定的化简。
我是怎么得到这个技巧的呢?事实上,那是几个月前我在阅读《引力与时空》时,读到变分原理那一块时我怎么也读不懂,想不明白。明明我觉得是错误的东西,为什么可以得到正确的结果?我的数学直觉告诉我绝对是作者的错,可是我又想不出作者哪里错了,所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案,并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。
技巧
首先来看通常我们是怎么处理变分问题的,以一元函数为例,对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$
齐次对称多项式初等表示的新尝试
By 苏剑林 | 2013-07-05 | 26922位读者 | 引用这是我的这学期高等代数课的一个小论文。说到这里,其实我挺喜欢那些不用考试,通过平时考核以及写论文、报告或者做实验的方式来评成绩的方式,毕竟我觉得这才是比较综合地体现了知识和技能的水平(当然更重要的一个原因是我比较喜欢写作啦~~)。我们高等代数有两门课程,一是基本的上课,二是研讨课,分别考核。老师照顾我们,研讨课不用考试,写小论文就行了。Yeah~~
我写的是有关对称多项式的。其实这文章在半个学期之前就酝酿着了,当时刚学到对称多项式的初等表示。所谓初等表示,就是将一个多元对称多项式表示为$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,...$的组合。其中
$$\begin{aligned}\sigma_1=x_1+x_2+...+x_n \\ \sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_1 x_n+x_2 x_3+...+x_{n-1} x_n \\ ... \\ \sigma_n=x_1 x_2 ... x_n\end{aligned}$$
书本上给出了待定系数法,但是每次都要求解方程组,让我甚是烦恼,所以我研究直接展开的方案,最终得出了两种方法。当时也刚好接触着张量的知识,了解到“爱因斯坦求和约定”,于是想充分发挥其威力,就促成了这篇文章。其实我自定义了“方括弧”和“圆括弧”两种运算,都是符号上的简化。两种方法在某种意义上相互补充,笔者自感颇为满意,遂与大家分享。具体内容就不贴出来了,请大家下载pdf文件观看吧。
当Matlab遇上牛顿法
By 苏剑林 | 2013-05-22 | 59726位读者 | 引用牛顿法是求方程近似根的一个相当有用而且快捷的方法,我们最近科学计算软件课程(Matlab)的一个作业就是编写求方程近似解的程序,其中涉及到牛顿法。我们要实现的目标是,用户输入一道方程,脚本就自动求出根来。这看起来是一个挺简单的循环迭代程序,但是由于Matlab本身的特殊性,却产生了不少困难。
Matlab是为了数值计算(尤其是矩阵运算)而生的,因此它并不擅长处理符号计算。这就给我们编程带来了困难。在网上随便一搜,就可以发现,网上的Matlab牛顿法程序都是要求用户同时输入方程及其导函数,这显然是不方便的,因为Matlab本身就具备了求导功能。下面我们来分析一下困难在哪里。
我们要实现的最基本功能是定义一个函数,然后可以根据该函数求具体的函数值,并且自动求该函数的导数,接着求导数值。这些看起来很基本的功能在Matlab中却很难调和,因为Matlab的“函数”定义很广,一个具有特定功能的M文件叫“函数”,一个运算式$f(x)$也可能是一个函数,显然后者是可以求导的,前者却不行,所以Matlab一刀砍——不能对函数求导!!
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