复分析学习1：揭示微分与积分的联系

笔者这段时间对复数尤其感兴趣，当然，严格来讲应该是复变函数内容，其中一个原因是通过它，我们可以把一些看似毫不相关的内容联系了起来，体现了数学的简洁美和统一美。我相当有兴趣的其中一个内容是实分析中的泰勒级数和傅里叶级数。这两者都是关于某个函数的级数展开式，其中泰勒级数是用于一般函数展开的，其各项系数通过求n阶导数得到；傅里叶级数的对象是周期函数，其各项系数是通过定积分求得的。在实数世界里，两者毫不相关，但是，复分析却告诉我们：它们只是同一个东西！只是将其在不同的角度“投影”到实数世界里，就产生了不同的“物像”，以至于我们认为它们是不同东西而已。

我们直接来看一个变魔术般的运算：
我们知道，在实数世界里头，我们有
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$，其中$|x| < 1$

现在，让我们不加证明地将它直接延伸到复数世界里边，即把实数x换成复数z。
$$ln(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+...$$

延伸的证明属于细节内容，而我们学习一个学科首先需要把握主干，把握整体，然后再把枝叶处理好，如果一开始就想把所有问题通通处理得完美无瑕，会严重阻碍我们思考的步伐，同时也可能让我们失去了对数学美的体味。很多时候，出于对“对称美”、“统一美”的追求而作出的类比，往往就已经得出了很多正确的结果，并且让我们赏心悦目。

如果直接类比实数运算规则，我们有$ix=ln(e^{i x})$

那么就有$ix=ln(e^{i x})=ln(\frac{e^{ix}+1}{e^{-ix}+1})=ln(e^{ix}+1)-ln(e^{-ix}+1)$

代入上面的$ln(1+z)$展开式，那么就得到
$$ix=(e^{ix}-e^{-ix})-\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2}+\frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{3}-\frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{4}+...$$

由公式$e^{i n\theta}=cos n\theta+i sin n\theta$可以得到$sin n\theta=\frac{-i}{2}(e^{i n\theta}-e^{-i n \theta})$，于是上面的公式就可以变成了
$$ix=2i(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\frac{\sin 4x}{4}+...)$$

即$\frac{1}{2}x=sin x-\frac{sin 2x}{2}+\frac{sin 3x}{3}-\frac{sin 4x}{4}+...$

要注意的是，我们从泰勒级数出发，以复数为纽带，得出了一个函数的傅里叶级数。这不能不说让人非常意外和惊喜，因为在实数世界里，两者的系数分别是通过求导和积分得出来的，这是两种看起来截然不同的运算。如果在复数世界里边，它们真的是同一个内容，那么将会得出一个这样的结论：

复数揭示了微分与积分的一种隐藏的联系！

事实上，这正是复分析里的核心内容！而在以后的文章里，泰勒级数和傅里叶级数将会是我们经常谈到的话题。

文章上边还给予了我们一个思想，要得到一个函数$f(x)$的傅里叶级数展开式，把里边的x换成$x=-i[ln(e^{ix}+1)-ln(e^{-ix}+1)]$，即变成$f(-i[ln(p+1)-ln(q+1)])$的形式，然后将其展开为关于p、q的二元泰勒级数就行了，因为傅里叶级数的系数是用定积分求出来的，这貌似也提供了一种求定积分的简单方法？？因为求导数比求积分简单多了......看到这个例子，很多迷人的想法都会冒出来，让我们兴奋不已。但是，事实还没有那么理想。因为我们的目的要展开为$e^{ix}$和$e^{-ix}$的幂的组合，可是仅仅对于$e^{ix}$一项，就有无数个项加起来（任意的$p^{n+1}q^n$项都是$e^{ix}$项）。这里说起来比较麻烦，有兴趣的读者动动手，应该就可以了解个所以然了。

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