拉格朗日
BoJone在之前的《自然极值》系列已经花了一定篇幅来讲述“极值”在自然界中是多么的普遍，它能够引导我们进行某些问题的思考，从而获得简单快捷的解答。接下来，我要说的一个更加令人惊讶的“事实”：“极值”不仅仅在某些数学或物理问题上给予我们创造性的思考，它甚至构建了整个经典力学乃至于整个物理学！这不是夸大其辞，这是物理学中被称为“最小作用量原理”的一个原理，很多物理学家（如费恩曼）被它深深吸引着，甚至认为它就是“上帝创造世界的终极公式”！（关于做小作用量原理，大家不妨看一下范翔所写的《最小作用量原理与物理之美》系列文章）
话说在18世纪，欧拉和拉格朗日开创了一条独特的道路，即用变分法来研究经典力学，从而使经典力学焕发出了新的活力，也由此衍生出了一个叫“理论力学”或“分析力学”的分支。用变分法研究力学有很多的好处，变分的对象一般都是标量函数，我们只需要写出动力系统的动能与势能表达式，就可以进行一系列的研究，比如列出质点的运动方程、判断平衡点的稳定性、求周期轨道等等（由于BoJone对理论力学研究还不够深入，无法举太多例子，但请相信，其作用远远不止这些），省去了不少繁琐的矢量性分析，这些都是在变分法发明前难以研究的。
5
Apr
重提“旋转弹簧伸长”问题（变分解法）
By 苏剑林 | 2011-04-05 | 20980位读者 | 引用感谢Awank-Newton读者的来信，本文于2013.01.30作了修正，主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误，导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》
在下面的两篇文章中，BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题，并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程，然后再转变为微分方程来解；后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程，两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
今天，再经过一段时间的变分法涉猎后，BoJone尝试从变分的角度（总能量最小）来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离，该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$，该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$，旋转前的长度为$l_0$，旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态，由平衡态公理（参看《自然极值》系列），平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。
10
Apr
备忘：椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 51818位读者 | 引用
我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。
15
May
地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 66101位读者 | 引用之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...
与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
18
Jul
记2011北京大学天文夏令营
By 苏剑林 | 2011-07-18 | 30468位读者 | 引用
20
Jul
[更正]一道经典不等式的美妙证明
By 苏剑林 | 2011-07-20 | 24851位读者 | 引用在数学竞赛中，很多题目都专门设置了一种技巧，这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的，换句话说，难以“顺理成章”地想下去，或者是说方法不成系统的，这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然，另一方面，个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力，尤其是在抽象思维以及几何想象能力等，因此做一些这样的题目也会有好处的。
下面就是一道很经典的竞赛题，它是在韩国举行的第42届IMO中的题目：
设a,b,c都是正实数，求证：
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$
27
Jul
最近评论