21 Feb

把地球放到“宇宙中心”...

Solar_sys

Solar_sys

虽然地心说早已站不住脚了,但是我们的确是站在地球上观测宇宙的,我们得把地球视为静止的,才能满足我们日常的观测所需。也就是说,必须得以地球为参照系。这样,我们其实也就重新树立了地球的“宇宙中心”地位。最典型的模型就是所谓的天球坐标系,它的本质就是把地球看做宇宙的中心...

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27 Feb

“n次方程有n个根”的证明

代数基本定理:任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

虽说这有其名,但却无其实,它并不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上,我们可以推出:

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根(有可能是共轨复根)。

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6 Mar

(原创)切抛物线法解方程

牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度

设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2+bx+c$,则应该有

$a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=f(x_0+\Delta x)$-------(A)
$ax_0^2+bx_0+c=f(x_0)$-------(B)
$a(x_0-\Delta x)^2+b(x_0-\Delta x)+c=f(x_0-\Delta x)$-------(C)

其中$lim_{\Delta x->0}$

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2 May

解答不等式的误区...

前几天做到了一道不等式题目,求2a-b的值域。其中
$$1 < a + b < 2\tag{1}$$$$-2 < a - b < -1\tag{2}$$
老师很高兴地把两式左右两边加起来,得到$-1<2a<1$;然后把第二式乘以(-1),得到$1 < b - a < 2$,然后再与(1)相加,得到$2 < 2 b< 4 \Rightarrow 1 < b < 2$;接着把这式子乘上(-1),然后与$-1<2a<1$相加。于是结果很显然,$-3<2a-b<0$。读者们,你们觉得这做法有问题吗?

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26 Jul

问世间质心(重心)知多少

均匀大圆挖去小圆后,求质心(重心)

均匀大圆挖去小圆后,求质心(重心)

不论在数学题目上,或者是物理应用中,我们总能够看到类似的题目:求一个规则物体挖去(或增加)一个规则物体后,其剩下部分的质心(重心)。

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5 Jun

眼见未必为实——“视超光速”现象的产生

超光速飞行

超光速飞行

爱因斯坦理论的信仰者们必须接受一个理论,那就是光速是宇宙中最快的速度,任何物体的速度都不可能超过光速(两束反向发射的光,它们的相对速度依然是c,而不是2c)。

但是,却有一个不容否定的事实,天文学家的确观测到了运行速度大于光速的天体。这是怎么回事呢?爱因斯坦错了?相对论有误?还是有其他不为我们知道的秘密?

不过要是想从这个事实推翻相对论是不大可能的,因为爱因斯坦的信仰者们从简单的几何定理出发,就解释了这个现象。

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27 Jun

威力巨大的“有向线段”

向量

向量

向量,又称矢量,定义为线性空间中需要大小和方向才能完整表示的一个量。而对于我们来说,还是使用最简单的概念比较合适:向量就是“有向线段”。向量这一概念,来源于物理,而又不仅仅应用于物理。向量的出现,使得几何学和物理学的发展又多了一个强有力的工具,记得有一句这样的话:“对数的出现,延长了天文学家的寿命。”而我可以毫不夸张地说,向量的发展,也在不断地延长着数学家和物理学家的寿命!

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15 Jul

《向量》系列——1.向心力公式证明

向量在几何和物理中都有极其重要的作用,现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。

首先我们必须了解一些基础:

1.在向量中,只要一条“向径”($\vec{r}$)就可以描述出物体的运动,而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因:物理定律不应该依赖于坐标系,而向量恰恰也不依赖于坐标系!
2.牛顿第二定律:$\vec{F}=m\vec{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等(可以查阅维基百科或者相关资料)

在下面及以后的文章描述中,为了大家的阅读方便,把向量写成$\vec{r}$的形式,而非把字母加粗。一般情况下,在本站的描述中,有$|\vec{r}|=r,|\dot{\vec{r}}|=v,|\ddot{\vec{r}}|=a$。但是,$\dot{r}=\frac{d|\vec{r}|}{dt} != |\dot{\vec{r}}|$

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