26 Sep

数学基本技艺(A Mathematical Trivium)

这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年,在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章,英文名叫 A mathematical trivium,这篇文章是有个前言的,用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂,尤其是物理系的。文后附了100道数学题,号称是物理系学生的数学底线。

这是给物理系出的数学题,所以和一般的数学竞赛题目不同,没太多证明题,主要就是计算和解模型,而且还有不少近似估算的,带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线,但即使对于数学系的学生来说,这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案,但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了,或者刚好碰到类似的研究,我也会把题目做做,与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。

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29 Oct

求解微分方程的李对称方法(一)

马里乌斯·索菲斯·李

马里乌斯·索菲斯·李

在这篇日志发表之前,科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想,这是比较少见的。一个小原因是这学期社团(广播台)方面的活动有点多,当然这不是主要的,其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上:一是无线电路的入门,二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边,书中写得很清晰易懂,后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》,后者相对抽象一些,讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中,这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点,就是它们都是外国教材的翻译版。

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1 Nov

月底回家看彗星C/2012 S1 (ISON)

今年的天象中的“重头戏”——C/2012 S1 (ISON)彗星将在月底闪亮登场!

ISON_Comet_captured_by_HST,_April_10-11,_2013

ISON_Comet_captured_by_HST,_April_10-11,_2013

先贴出来自scully.cfa.harvard.edu的数据:

Date TT R. A. (2000) Decl. Delta r Elong. Phase m1 m2
2013 11 24 14 45 42.7 -18 53 56 0.8693 0.3002 17.1 104.3 3.0
2013 11 25 15 01 27.3 -20 05 10 0.8819 0.2551 14.3 107.0 2.5
2013 11 26 15 18 04.6 -21 09 58 0.8998 0.2058 11.4 109.3 1.8
2013 11 27 15 35 58.3 -22 05 30 0.9244 0.1502 8.2 110.4 0.7
2013 11 28 15 56 28.2 -22 43 29 0.9594 0.0826 4.6 106.9 -1.3
2013 11 29 16 23 17.5 -19 52 57 0.9762 0.0322 1.8 107.7 -4.5
2013 11 30 16 21 22.4 -16 20 32 0.9125 0.1145 5.3 127.4 -0.2
2013 12 01 16 19 11.8 -13 59 07 0.8681 0.1757 8.1 128.1 1.2
2013 12 02 16 17 23.9 -11 56 02 0.8309 0.2281 10.6 127.3 2.0
2013 12 03 16 15 54.3 -10 00 54 0.7980 0.2754 13.0 126.1 2.5

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31 Dec

写在2013年即将逝去之际

2013年即将过去,而我的大二也即将过去一半了。这一学期广播台的事情忙了很多,数学物理的进展比想象中稍微缓了一些,主要的进步是在向量分析(场论)、路径积分和微分方程等方面。下学期开始分流了,我选择了非师,但事实上,我更喜欢师范类的课程,我选择非师的唯一原因是选择师范需要修教育学和心理学。幸好,我们创新班的自由度比较多,可以自由选择下学期的课程,我选择了六门数学课程:

1、常微分方程;
2、复变函数;
(这两门纯粹是凑学分的,我觉得他能讲的东西我都懂了,而我认为很重要的部分他不讲...)
3、数理统计;
(这门主要的想法是为路径积分以及统计力学奠基)
4、微分几何;
(主要是广义相对论的奠基,还有理论物理形式)
5、偏微分方程;
(第4、5都是大三的课程,我是去跟大三一起上的)
6、离散数学。

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16 Aug

从费马大定理谈起(三):高斯整数

为了拓展整数的概念,我们需要了解关于环和域这两个代数结构,这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构,是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中,可以很方便定义和比较两个数字的大小,并且任意一个自然数的子集,都存在最小元素,这两点综合起来,我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的(这也是数学归纳法的基础)。在良序的结构中,很多性质的证明变得很简单,比如算术基本定理。然而,一般的数环、数域并没有这样的“良序”,比如任意两个复数就不能比较大小。因此,一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环(Ring)的定义,可以参考维基百科上面的“环(代数)”条目。简单来说,环指的是这样一个集合,它的元素之间可以进行加法和乘法,并满足一些必要的性质,比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环,它指的是集合是数集的情况,并且通常来说,元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$,这个数环是无限的;所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$;对于素数$p$,在模$p$之下,数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环,更特别的,它还是一个数域。

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25 Apr

傅里叶变换:只需要异想天开?

在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。

洛朗展式

我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中

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15 Aug

从费马大定理谈起(一):背景简介

费马大定理,也叫做费马最后定理(Fermat Last Theorem),说的是

设$n$是大于2的正整数,则不定方程$x^n+y^n=z^n$没有全不为0的整数解。

Pierre_de_Fermat

Pierre_de_Fermat

稍微阅读过数学史的朋友应该知道,该定理首先于1637年由法国业余数学家费马(Pierre de Fermat)在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时写在第11卷第8命题旁写道。他并附加道:“我发现了一个非常漂亮的证明,但这里没有足够的空间可容纳得下。”根据后世的考证,费马或许有办法证明n=3,4,5的情形,但不大可能给出一般性的证明,因为在20世纪90年代,怀尔斯用了130页的纸张,而且用到了复杂的现代理论,才完全证明了费马大定理。所以费马当时的这一断言,更可能只是一个归纳猜测。

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17 Jul

强大的整数数列网站OEIS

OEIS?:http://oeis.org/

近段时间在研究解析数论,进一步感觉数论真是个奇妙的东西,通过它,似乎数学的各个方面——离散的和连续的,实数的和复数的,甚至物理的——都联系了起来。由此也不难体会到当初高斯(Gauss)会说“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”了。今天,由于在研究素数的个数的上下界问题时,需要思考组合数
$$C_{n}^{2n}=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\ n!}$$
最多能被2的多少次方整除。直觉告诉我,次数应该是随着$n$的增大而增大的,但事实却不是,比如$C_{15}^{30}$能够被16整除,但是$C_{20}^{40}$却最多只能被4整除,有种毫无规律的感觉,于是到群里问问各大神。其中,wayne提出

这个可以写个小程序算出一些数据,再在oeis上搜搜

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